Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1980)]:
U = — sin л [я0 (cos л —|— я,)2 —|— а,] 1 [a0(cosa+a,) и+ 6, -\-Ьг cos а];
W2 = sin2 a [a0(cos а + а,)2 + а2]'2 + 2 [a,62 +
+ а„ (cos а + а,) (аД — 6,)] и — (6+6, cos а)2—с0а0 (cos a+aj2—с„а2};
(28.92)
^ = + 2 Iaa6, + «„(cos а + л,) (а.б, — 6,)] и —
— (6, + 6., cos a)2 — с0а0 (cos a-(-a,)2 — c0as} 2,
где а,, а2, а„, 6,, 6г и /п„ — произвольные (действительные) константы. Частный выбор 0(, = 6,=0, 262a“'=6, т. е.
U =------Y sin a. cos а, Г2+ L/2 = (бы+ a2) sin2 а, приводит к метрике
Керра с излучением [Vaidya, Patel (1973)]. При 6 = 0 вновь получается решение Керра (29.49).
Общий случай и ^фО, по-видимому, не решен до сих пор.
28.4.2. Случай >оф0
В случае коллинеарных векторов (28.11) пространство-время является алгебраически специальным в силу теоремы 28.3, а в силу теоремы § 7.4 оно должно принадлежать к типу N. Следовательно, рассматриваемые решения Керра — Шилда содержатся в решениях, которые обсуждали в 1§ 22.1. Чтобы выделить их из классов, которые там рассматривали, надо добавить условие Керра— Шилда (28.1), т. е. потребовать, чтобы решения типа N имели ненулевой сдвиг и могли быть записаны в виде
ds2 = 2и'и2 — 2ю3о>4;
a1 = d? + 0^dv = O)2; и4 = Vw3+ do; (28.93)
и3 = — kad ха = VdC + Vfc+V fdv + du.
Исходя из (28.93) и используя
W0=W1=W2=W3=O
и полевые уравнения
^аЬ=х0б3аб3ьФ2,
301
с помощью уравнений Ньюмена — Пенроуза можнЪ показать, что изотропная конгруэнция к должна быть геодезической и бессдви-говой
н = р — р=0; рг=оо, (28.94)
а спиновые коэффициенты р, а и т должны удовлетворять
8 (рто-1 -|- х) =:8 (рто-х) (28.95)
[Urbantke (1975)]. Все поля чистого излучения типа N, удовлетворяющие (28.94) и аф0, известны и содержатся в (22.10) и
(22.12), но были определены только частные метрики (Керра — Шилда), которые дополнительно подчиняются (28.95), [ср. Urbantke (1975)].
28.4.3. Случай р=<т=0
Решения Керра — Шилда для чистого излучения, имеющие геодезическую, нерасширяющуюся, бессдвиговую изотропную конгруэнцию, принадлежат к типу N по Петрову, вектор к является четырехкратно вырожденным главным изотропным направлением. Все решения этого класса даются (28.73), где функции <у (и') и g(z, z, и') (действительная) — произвольны.
28.5. Обобщения подхода Керра — Шилда
Пространства с метриками gab и §аь, оба неплоские,
gab=gab+2Vkakb\ gab=gab—2Vkakb (28.96)
были рассмотрены Томпсоном [Thompson (1965)] и Дозморовым [Dozmorov (1971)]. Вектор к является изотропным вектором по отношению к обеим метрикам, а в вакуумном случае Rab=0 он является кратным изотропным собственным вектором обоих тензоров Вейля CabCd и Cabcd-
Класс решений уравнений Эйнштейна — Максвелла (19.11) можно записать в двойной форме Керра — Шилда (табл. 28.1)
Таблица 28.1. Метрики Керра—Шилда
P BaityyM Паля Эйнштейна—Максвелла Чистое взіученне Идеальная жидкость
дфО В (28.45) H (28.61) H (28.80), (28.96) Ф
P = O В Теорема 28.6 (21.38) В (28.73) В (28.73) Ф
gab=‘f\ab-\-Kkakb-\-Llalb, (28.97)
где к и 1 — независимые комплексные изотропные векторы, удовлетворяющие [Plebanski, Schild (1976)]
r\ab Uakb=l^ab Ialbs=l^ab kalb=0. (29.98)
302
Глава 29
Алгебраически специальные решения Is случае идеальной жидкости
29.1. Обобщенные решения Робинсона — Траутмана
Обобщенные решения Робинсона — Траутмана характеризуются следующим набором предположений. 1) Кратный изотропный собственный вектор к тензора Вейля является геодезическим, бес-сдвиговым и не имеет вращения, но его расширение отлично от нуля: _
^F0=Wi=O; X=(T=O)=O; р=р=И=0. (29.1)
2) Тензором энергии-импульса является тензор энергии-импульса идеальной жидкости
Rab=K0 ( М-+Р) UaUb +X0 (|1—р) gab/2. (29.2)
3) 4-скорость жидкости и подчиняется условиям
иіа;Лі = 0; Va>:6“b = 0- (29-3)
Вводя изотропную тетраду (m, т, 1, к), видим, что условия (29.1) и (29.3) означают, что т можно обратить в нуль с помощью выбора 1; при этом и лежит в плоскости, которую образуют 1 и к. При таком выборе 1 из (29.2) следует
Дп=Ді4=Діз=0. -(29.4)
Начиная отсюда, вычисления проводят в близкой аналогии с вычислениями для решений Робинсона — Траутмана (ср. с гл. 23 и 24). Мы здесь представим только основные результаты, следуя [Wainright (1974)].
В качестве первого шага можно из (29.1) и (29.4) сделать вывод, что координаты ?, f, г, и можно ввести таким образом, чтобы метрика принимала вид:
ds2 = 2/г(г, Z, u)dUZ-2duir-2H^., Z, г, u)du*; (29.5)
р = — <?r In х; H — — гди In S3 — H0 (С, S, и) — S (г, и), где 4-скорость и (без вращения) имеет компоненты
В У2 U1= (0, 0, - I, -H -Вг). (29.6)
На втором этапе до сих пор неизвестные действительные функции х, H0, SnB должны быть определены из оставшихся уравнений (29.2), (29.3). Два из полевых уравнений (29.2) можно рассматривать как определяющие плотность энергии (х и давление р через функции, входящие в метрику, так что необходимо рассматривать три уравнения (29.2). Они обеспечивают корректную алгебраическую структуру Яаь (т. е. изотропность давления). В результате получаем три различных случая.
