Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
=К*аЬ-,ь=0, определяют одну и ту же геометрию. В соответствии с проблемой Райнича (см. § 5.4) это предположение означает, что F*ab=&4K*ab для неизотропных полей, и, следовательно, также ведет к линейной зависимости между потенциалами Ф и <?Г.
Теорема 30.6 [Bonnor (1954)]. Существует взаимно однозначное соответствие между электростатическим и магнитостатическим полями Эйнштейна — Максвелла
8'=8; Ф'=іФ.
(30.31)
317
Это преобразование есть специальный случай дуального вращения
(30.26). [Для стационарных полей Максвелла в плоском пространстве-времени так называемое преобразование Фитцджеральда Ф7=іф стаВит в соответствие электрическому полю магнитное поле с той же структурой источника (и наоборот). Например, поле электрического диполя может быть преобразовано в поле магнитного диполя.]
Асимптотически плоские поля Эйнштейна — Максвелла, построенные из вакуумных полей с помощью преобразования (30.30), проявляют типичное для них свойство: источники гравитационного и электромагнитного полей имеют очень похожую структуру. Это следует из анализа поведения поля в дальней зоне (см., например, [Kramer е. а. (1972)]).
Преобразования симметрии (30.25) дают нелинейное представление рассматриваемой нами группы G&. Линейное представление этой группы будет использовано в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 30.7 [Kinnersley (1973)]. Группа преобразований симметрии уравнений Эйнштейна — Максвелла с неизотропным полем вектора Киллинга есть группа SU (2,1).
Доказательство. Комплексные потенциалы S и Ф могут быть выражены с помощью компонент ‘У1= (и, v, w) вектора в трехмерном комплексном векторном пространстве:
<§ = (и — w)j(и -(- w)\ Ф = у/(м + ш); = (и, V, w). (30.32)
Избыточность этого описания можно устранить добавлением подходящего дифференциального уравнения для комплексной величины w. В этом случае полевые уравнения (16.38)—(16.40) принимают вид:
Для удобства в векторном пространстве введена метрика Tjir= = diag (I, 1, — 1), так что норму вектора ^ можно записать в виде
30.3.3. Группа SU(2, 1)
(30.35)
(30.36)
318
называется псевдоунитарным, если оно сохраняет норму (30.35). В матричных обозначениях псевдоунитарные матрицы IJ удовлетворяют соотношению
U*nU=i|; ti=diag(l, 1,-1). (30.37)
Очевидно, уравнения (30.33) и (30.34) инвариантны относи-
тельно преобразований (30.36), (30.37) с постоянной матрицей U. В соответствии с (30.22) потенциалы 8 и Ф определяются через отношения и, V, w. Поэтому общий множитель B и. V, ш не имеет значения, и мы можем ограничиться унимодулярнымн преобразованиями, т. е. группой SU (2,1).
Tpjmna SU (2,1) имеет 8 независимых генераторов X (с U= = 1—ІХ):
('аі Ь с iVflrj, а„, а., — действительные,
ь а3 d Ia1-і-аг,+ о,--0; (30.38)
_j а Jb, с, d — комплексные.
Подгруппой группы преобразований симметрии вакуумных решений (ф=у=0) является группа SU (1,1) [Geroch (1971)].
Cm.: [Hauser, Ernst (1978)].
Таблица 30.1. Подпространства пространства потенциалов для стационарных полей Эйнштейна—Максвелла и соответствующие подгруппы группы SU (2, 1)
Подпроет- j раногво і Метрика Кривизна и сигнатура Подгруипа группы SU (2. 1) її !«вариант Потенциалы ? її Ф
ф=о ! (O-O) ! ^ “ (1-М)’ AC = -2 (+ +) SU(\, 1) ItU — WW s '1 + 5
или S г — 1 (и ™ 0) 2іІФ./Ф (ISi = =— (1 — ФФ)- А',-= —2 (+ +) SU{I, I) vv — ауіС!
<? =- +Jj (IC--O) j — 2ґ/Ф;/Ф (,S (1 + ФФ)а AT — -2 SU (2) \ tUt + VV і
\ ф = = ф і (а—и, 1 v~ v, [ 8 Літ, 'lsi 1 А'- - -г (+ -) 0(і\ і) „ (1-5)(1-4) “ (1+?)(1+4) h 5-4 ф - (1+5)(1+4)
к' — a-) I
і 1 о Ii =O t/Sa L -= 0 VV
:S1<J
30.3.4. Подгруппы группы SV(2, 1) и двумерные подпространства пространства потенциалов
Упрощения возникают в том случае, когда удается свести пространство потенциалов к двумерному подпространству <рА= =ФА(^і, Я,2). Все известные решения уравнений Эйнштейна — Максвелла зависят не более чем от двух (действительных) потенциалов. Для стационарных полей Эйнштейна — Максвелла каждое двумерное подпространство (действительные координаты %\, K2) пространства потенциалов (30.24) должно быть или изотропной поверхностью, или пространством постоянной кривизны (Нойге-<5ауэр, частное сообщение). Стационарные поля Эйнштейна —
Максвелла с двумя независимыми потенциалами можно разделить на четыре неэквивалентных класса: Ф=0 (или S = = —1) (вакуумные поля), S = + 1, класс S=S, Ф=Ф (электростатические поля) и JT = O. Пространства с S = + 1 становятся плоскими при выключении электромагнитного поля.
В табл. 30.1 перечислены метрики, сигнатуры и гауссовы кривизны соответствующих двумерных поверхностей постоянной кривизны. Исключение представляет случай JT = O1 которому в пространстве потенциалов соответствует изотропная поверхность. Все подпространства являются плоскостями в пространстве переменных и, v, w (см. также [Tanabe
(1977)]).
Группы изометрий двумерных пространств постоянной кривизны являются трехпараметрическими подгруппами группы SU (2,1). Фактически группы симметрий вакуумных полей, электростатических полей и полей класса JT=+1 являются соответственно группами SU (1,1), О (2,1) и SU (2).
