Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Среди римановых пространств, которые надо рассмотреть, наиболее важными являются стационарные аксиально-симметричные поля Эйнштейна — Максвелла, а также пространства, в которых оба вектора Киллинга пространственно-подобны. В § 17.4 первая из этих задач была сведена к комплексным дифференциальным уравнениям (17.26), (17.27) для Ф и 8, которые можно записать в виде
б/,/6Ф=0; 8L/68=0 (30.42)
322
для лагранжиана (30.16) [уаь заменяется на Габ, ковариантнг определяемое следующим образом:
ГаЬ=—Ы° [^ + ^(ЛсЛ'^^Ь+Іс^вТІаЛЬ—2^^(0?)) ] і
Га^ь=0=ГаьЛь; -1^=2^.446^6. (30.43)
В системе координат (17.15) Гаь совпадает с двумерной метрикой 7млг.]
Чтобы построить новые решения из известных старых, следует провести изометрические преобразования метрики пространства потенциалов (30.16) при фиксированных Гаь и W. Благодаря существованию второго вектора Киллинга появляются дополнительные способы построения решений, которые будут описаны ниже.
1. Сравнивая метрики двумерного пространства потенциалов вакуумных полей (ф=0) и электростатических полей (JT=JT, Ф=Ф) (перечисленные в табл. 30.1), приходим к выводу, что комплексное преобразование 5=6, Л=1 [или, эквивалентно, JT7=JTJT, Ф'=(<§Г—<§Г)/2] преобразует полевые уравнения б?/6фА=0 для вакуумных полей в соответствующие полевые уравнения для электростатических полей (см. также теорему 17.3).
Теорема 30.8 [Bonnor (1961)]. Из произвольного стационарного аксиально-симметричного вакуумного решения (JT) можно получить электростатическое поле Эйнштейна — Максвелла (JT', Ф') (или наоборот) с помощью подстановки
Г = Ф' = = ъ (30.44)
Электростатический потенциал х является мнимым, а действительное поле Эйнштейна — Максвелла можно построить из действительного вакуумного решения только в том случае, если в решении можно осуществить комплексное продолжение параметров. Чтобы получить новую метрику, необходимо вычислить двумерную
метрику Габ из преобразованных потенциалов; Гаь не остается
инвариантной. Теорему 30.8 можно использовать в сочетании с преобразованиями симметрии (см. § 30.5.2).
2. Уравнения вакуумного поля для метрики (17.15) можно поручить из любого из следующих лагранжианов:
L = W + (30.45)
L = W(S_MS-M-^SA'MA-My,
S = -U + -±-lnW. (30.46)
С точностью до знака эти лагранжианы имеют строго одинаковый вид. Поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 30.9 [Kramer, Neugebauer (1968b)]. Из заданного стационарного аксиально-симметричного решения (U, со) другое ре-21* 323
шение (S', А') получается с помощью подстановки S'=U, А'=ш. Действительное решение получается в том случае, если можно осуществить аналитическое продолжение параметров в решении так, чтобы можно было скомпенсировать мнимую часть.
Преобразованиями, сохраняющими (30.45), являются преобразования симметрии, изученные в § 30.3. Симметрия в (30.46) является следствием свободы в выборе линейных комбинаций двух векторов Киллинга |i=l и І2=п:
l\ = al, + &1г; Sf2 = ^I2+ <?!,; ac-bd = \. (30.47)
Переходы к линейным комбинациям (30.47) эквивалентны линейным преобразованиям координат ф и і вдоль траекторий векторов Киллинга.
Теорема 30.9 выражает изоморфизм между двумя группами Ли, сохраняющими формы лагранжианов (30.45) и (30.46).
3. Потенциалы Ф и S были определены по отношению к вектору . Киллинга |. Для того чтобы определить такие комплексные потенциалы, можно выбрать произвольную (неизотропную) линейную комбинацию векторов Киллинга |2. В общем случае различные линейные комбинации, после того как они введены в преобразование симметрии и применены к заданному решению, приводят к различным решениям.
Произведение двух групп Ли (Группы преобразований симметрии и группы перехода к другим линейным комбинациям векторов Киллинга) образует бесконечнопараметрическую группу Ж. Инфинитезимальные операторы группы Ж можно описать с помощью бесконечного числа потенциалов [Geroch
(1972); Kinnersley (1977); Kinnersley, Chitre (1977, 1978)]. В случае специальных подгрупп группы Ж, действие которых оставляет пространство асимптотически плоским, известен вид экспоненты инфинитезимальных преобразований. ;[Kinnersley, Chitre (1978); ? Hoenselaers е. а. (1979, (1980)]; методы построения метрических функций использовали для нахождения новых вакуумных решений с произвольным числом параметров-. -Хаузер и Эрнст [QHauser, Ernst (1979а,Ь)] нашли линейное интегральное уравнение для функции, с помощью которой можно, построить решение.
4. Преобразования Бэклунда (с помощью которых находят решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, например уравнения sin-Гордона) имеют аналоги в эйнштейновской теории стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей [Harrison (1978); Neugebauer (1979)]. С помощью Повторного применения этих преобразований к данному решению можно найти большой класс новых решений с произвольным числом параметров. Чтобы получить окончательную формулу, выражающую новый потенциал Эрнста Г (заметим, что для вакуумных полей S= =Г, Ф=0), через заданное Г° и величины, получаемые из Г°, удобно ввести две комплексные функции -ф и х» которые удовлетворяют следующим линейным уравнениям [? Neugebauer
