Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
ds^=gAB(x\ x*)dx*dx*+2dx'dx*+ (dx*)2;
(31.7)
дс=бс4; kc=6cs; А, В—1, 2;
тензор энергии-импульса TabXo=Pa^nfcb есть тензор эиергии-импульса поля чистого излучения. (В обоих случаях ср. [Eisenhart (1949), с. 262.]
Наконец, если пространство-время допускает один постоянный вектор а'= =6е4 и если этот вектор неизотропен, то метрика имеет вид: ds2 = ga? (xv)dxadx* + е (dx*)*,
е=±1, а, р, v=l, 2, 3, (31.8)
334
Существует два различных случая в зависимости от того, можно ли оба вектора а и Ь выбрать иеизотропными. Если можно,
а если вектор ас=6с4 является изотропным, то
ds* = ga? (Xv)O1XtlO1X3 — 2dx3dx*,
(31.9)
а, р, V= I, 2, 3.
Существование неизотропного постоянного вектора йс = 5с, означает Riknn=О 4 3
и = ^азт5- Для решений вакуумных уравнений Rah = O, из этого следует
з 3
/?,!•, = 0, что эквивалентно -^07Jj = O. Таким обрезом, можно сформулировать
теорему: если решение вакуумных уравнений допускает постоянное векторное поле, то этот вектор является изотропным или пространство-время является плоским.
31.1.2. Постоянные тензорные поля
Приводимые пространства. Четырехмерное пространство-время является приводимым. если оно является произведением трехмерного и одномерного пространства
ds2 = g^x^dx^dx* -\-z(dxfy, є = +I, (31.10)
или произведением двух двумерных пространств
ds*=gA в (JCc) dx* rfxB-f gM N(xP)dxMdx*. (31. 11)
Приводимые пространства могут характеризоваться [Petrov (1966), с. 398] существованием симметрического тензора Amn, который идемпотентен и постоянен:
AafiA^c-ftocl hab\e== 0. (31.12)
Этот тензор можно использовать, чтобы разбить метрический тензор на две части:
(И (2)
Sab — Bab 4" gab — ^ab Ч- (gab ~~ ^ab) > (31.13)
обе удовлетворяющие (31.12). Ранг матрицы Лпь равен трем (одному) или двум
соответственно.
Метрика (31.10) есть метрика (31.8), допускающая постоянный неизотропный вектор. В метрике (31.11) ненулевыми остаются только компоненты тензора кривизны Rim и #3434, а тензор Риччи удовлетворяет условиям
R1I=R22; Rh=RU и Я“ь=0 (31.14)
в остальных случаях.
Соответственно тензор энергии-импульса должен быть таким, как и в случае поля Максвелла, что возможно, если только R=0, т. е. для конформно-плоских метрик (31.42).
Постоянные неизотропные бивекторы. Постоянный неизотропный бивектор
Fab (который фактически не должен быть электромагнитным полем, HO должен тривиально удовлетворять уравнениям Максвелла) означает существование постоянного самодуального бивектора F*ab, который в силу (5.11) имеет вид:
Ftab=AWaь, A=Const. (31.15)
Wab — постоянный тензор, следовательно, тензор
2hab^gab— U^ac^cb==2 {gab~\-kalb~\~kblaj » (31.16)
который подчиняется (31.12), также постоянен. Поэтому, если V4 допускает постоянный неизотропный бивектор, оно приводимо, и его метрику можно записать в виде (31.11) [Debever, Kahen (I960)].
335
Наоборот, если V4 приводимо и постоянными составными частями метрики являются
і _ 2
Oab= 2т{атьу, gab= —2k{bla), (31.17)
то выполняется (тоть)jc=0=(?o/&);c, а тензор
УаЬ=2щ.ать\ + ЩаЬь\ (31.18)
также является постоянным.
Постоянные изотропные бивекторы. Изотропный бивектор Fab можно записать в виде
Fab=Pakb-Pbka-, рпрп= 1; 6а6„=0; (31.19)
pnkn=0.
Если Fab — постоянен, так что FabFcb=kakc, то справедливо ка,ь=0. Можно показать [Ehlers, Kundt (1962)], что пространство V4 допускает постоянный изотропный бивектор в том и только том случае, когда его фундаментальную форму можно записать в виде
dsl—dxl-\-dyl—2dudv—2H(x, у, u)du2, (31.20)
ka=—U, а.
Эта метрика описывает pp-волну (см. § 21.5).
31.2. Комплексно-рекуррентные, конформно-рекуррентные, рекуррентные и симметрические
пространства
31.2.1. Определения
Комплексно-рекуррентное пространство-время V4 есть пространство, для которого самодуальный тензор Вейля (3.53) удовлетворяет условию
C*abcd;e=C*abcdKe,
В общем случае рекуррентный вектор Ke является комплексным; если он действительный, то пространство называется конформно-рекуррентным, тогда
Ca bcd-.e^^CabcdKe, (31.22)
а ейлй /Ce равен нулю, получаем конформно-симметрическое пространство, в котором
Cabed;e=0, (31.23)
Рекуррентное пространство — это пространство, в котором тензор Римана удовлетворяет условию
Rabcdie=sRabcdKe- (31.24)
Для рекуррентного пространства тождества
^abcd; |тп] "Ь ^edmn', |о6| + ^mnab', [cd\ = ®
приводят к
Ke=K.(31.26)
рекуррентный вектор является градиентом. Если вместо (31.24) выполняется только
Racs=RacKe, (31.27)
то простраиство-время является рекуррентным по Риччи (о пространствах, рекуррентных по Риччи, см. [Hall (1976а)]).
Говорят, что рекуррентное пространство — симметрическое, если вектор Ke равен нулю; тогда
Rabed-.e=0. (31.28)
336
Очевидно, что каждое рекуррентное (симметрическое) пространство-в рем я является конформно-рекуррентным (конформно-симметрическим) н, следовательно, также комплексно-рекуррентным пространством.
Используя канонические формы (см. § 4.2) самодуального тензора Вейля С*аьс<і и выражая (31.21), можно легко показать, что не существует комплекснорекуррентных пространств, принадлежащих к типам I, 11 н III по Петрову. Таким образом, следует рассматривать только типы О, N и 0. Это будет сделано-в следующих разделах без подробных доказательств, которые можно найти в работах [McLenaghan, Leroy (1972); Kaigorodov (1972); Sciama (1961); Cahen1 MeLenaghan (1968)], а также в работах, на которые эти авторы ссылаются.
