Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Kab= ЬШ (31.48)
1 2
векторов Киллинга ?a, (не обязательно различных), а также их линейные 1 2
комбинации с постоянными коэффициентами. Тензоры Киллинга, которые не
могут быть представлены в такой форме, относятся к нетривиальным, неизбы-
точным или неприводимым.
Некоторые авторы используют термин тензор Киллинга или тензор Киллинга— Яно для описания кососимметрических тензоров аЬс..,йе, удовлетворяющих условию
^bc... de;f~\~abc. 0, (31.49)
которое также является обобщением уравнения Киллинга. На первый взгляд кажется, что этот тензор совершенно другого типа, но можно легко показать, что из симметрических тензоров Киллинга можно построить тензоры Киллинга — Яно. В случае тензоров Киллинга — Яно аь=%ь и Obcde=COnstebcde, им соответствуют тривиальные тензоры Киллинга ?0|ь и BbcdeEcdeO=—6g„b. Для тензоров a
второго ранга Abc соответствующими (симметрическими) тензорами Киллинга будут тензоры
Krm = anialm + anialm, (31.50)
AB BA
а также их линейные комбинации. Тензор Киллинга—Яно третьего ранга можно заменить вектором ае = tbfdabcd> который в силу (31.49) удовлетворяет условию
4й«: / = SefOc; с- (31.51)
339
Если а;, и ас— два таких вектора, то тензор
Kbc = abac + CicCtb — 2а?ааёЬс, (31.52)
ABABAB '
и линейные комбинации таких выражений являются симметрическими тензорами Киллинга.
31.3.2. Свойства метрик, допускающих существование тензоров Киллинга
Интерес к тензорам Киллинга с физической точки зрения появился благодаря тому, что они связаны с квадратичными первыми интегралами движения для геодезических и с разделением переменных в различных дифференциальных уравнениях в частных производных, например в уравнении Гамильтона—Якоби.
Пусть t есть тангенциальный вектор на аффинно параметризованной геодезической,
DtalDb=taibtb=0. (31.53)
Тогда в силу (31.44) выполняется следующее равенство:
KabtaIb = Kab. с тне = О, (31.54)
так что KabtaIb есть квадратичный первый интеграл движения. Для конформного
тензора Киллинга &аь, удовлетворяющего более слабому условию (31.47), ана-
логичное утверждение справедливо только для изотропных геодезических.
Из кососимметрического теизора Киллинга — Яно аьс можно построить вектор abetb, который в силу (31.49) параллельно переносится вдоль (произвольной) геодезической, и каждому вектору а, удовлетворяющему (31.51), соответствует кососимметрический тензор actb—abtc, постоянный вдоль геодезической. В каждом из этих случаев возникают квадратичные первые интегралы, получающиеся соответственно из инвариантов вектора или тензора согласно (31.50), (31.51) и (31.54).
По вопросу о связи между тензорами Киллинга и разделением переменных в дифференциальных уравнениях в частных производных отсылаем читателя к литературе: [Hevas (1975); Dietz (1976); Collinson, Fugere (1977); Boyer е. а. (1978); Benenti, Francariglia (1979)]. Здесь отметим лишь результат Вудхауса [Woodhouse (1975)]: координаты, допускающие разделение переменных для уравнения Гамильтона — Якоби в лоренцевом многообразии, связаны либо с вектором Киллинга, либо с собственным вектором (симметрического) тензора Киллинга второго порядка.
31.3.3. Теоремы о тензорах Киллинга в четырехмерных римановых пространствах
По аналогии с рассмотрением векторов Киллинга и групп движений конечной целью изучения тензоров Киллинга и их свойств является а) нахождение всех тензоров Киллинга заданного пространства-времени и (или) б) квалификация метрик в зависимости от того, какие нетривиальные тензоры Киллинга они допускают. Ни одна из этих проблем пока не решена, и можно лишь привести некоторые известные теоремы.
1. Теоремы о симметрических тензорах Киллинга второго порядка Kaь-
Теорема 31.1. Четырехмерное пространство-время допускает не более чем 50 (линейно-независимых) тензоров Киллинга второго порядка. Максимальное число 50 достигается в том и только том случае, если пространство-время имеет постоянную кривизну; в этом случае все 50 тензоров Киллинга являются приводимыми [Hauser, Malhiot (1975)].
Теорема 31.2. Каждая вакуумная метрика типа D, имеющая тензор Вейля следующего вида:
C*obmn=24rj( Vabi/mn4-^“bVmn"l~flPeb WfInn). (31.55)
340
допускает конформный тензор Киллинга
^ab = —-Y<^WacWcb= {A* +&)^kalb +IJib+ -Lgafc j; (31.56)
_ I
ф = А + iB = const (W2) 3 .
Этот конформный тензор Киллинга является неприводимым, если пространство-время допускает менее четырех векторов Киллинга [Walker, Penrose (1970)].
Теорема 31.3. Каждое вакуумное решение типа D, за исключением С-метри-ки и ее обобщения (случай III по классификации Киннерсли [Kinnersley (1969b)], допускает тензор Киллинга
Kab=(A2-^Bi) (lakb+kalb)+B2gab, (31.57)
A-HB=const(il)2)-1/3,
где комплексная константа выбирается так, что
DA=M=SB=O (31.58)
[Walker, Penrose (1970); Hughston е. а. (1972); Hughston, Sommers (1973)].
Теорема 31.4. Если пространство-время допускает тензор Киллинга с характеристикой Сегре [(U) (1,1)],
Kab=A2(lakb-\-kalb) -\-В2(таіпьА-іпать), (31.59)
