Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
* = >l '+Jf. ¦ Л*=3/(>мОї с-=2а-/т; в = -§- (C' -O1MC'+<*•)-'; A + -g-j‘=2«C-',
где цо, а, й — константы [Kramer, Neugebauer (1971)]. На границе г=а (р=0) это решение может быть сшито с внешним решением Райснера — Нордстрема. Вводя давление ро внутреннего решения Шварцшильда (6=0) в (30.60), получаем р, а затем а и ц из (30.61).
Формализм пространства потенциалов можно расширить таким образом, чтобы он включал (действительное) скалярное поле 1F. В этом случае в интервале (30.24) появляется дополнительный член adW2 (a=const); пространство потенциалов является пятимерным. В общем случае только тривиальная замена 1Fr=1If+ +const является возможным преобразованием симметрии. Однако если потенциалы <рА=(Ф, 8, 40 зависят друг от друга (фА= =ФА (^)), то существует нетривиальное преобразование изометрии метрики пространства потенциалов. В другой процедуре получения целых классов решений со скалярными полями из заданного стационарного аксиально-симметричного поля Эйнштейна — Максвелла используется тот факт, что 1F удовлетворяет уравнению A1F=O1 которое отделяется от остальных полевых уравнений (см. также теорему 15.1).
Было сделано обобщение теоремы 30.4, чтобы можно было рассматривать также идеальные жидкости [Buchdahl (1956)]: из статического решения с —F=G2u, давлением р и плотностью энергии ц получается эквивалентное статическое решение, в котором
U = -U; р = e~Wp; и- = — е-4У(н. + 6р). (30.63)
Рассмотренные выше методы построения новых решений базируются на основном предположении, что существует неизотропный вектор Киллинга. Случай, когда существует изотропный вектор Киллинга, до сих пор исключался. Однако полевые уравнения для волновых решений уравнений Эйнштейна — Максвелла, когда фронт волны является плоским (см. § 21.5), можно также вывести из вариационного принципа [Kramer (1977)]. Лагранжиан определяется выражением
L = e_cer + e т9>с, Є=//-К/2) Ve +ИГ, (30.64)
330
где V обозначает электромагнитный потенциал; Fa*=24r, \аи,-.\, а H — функция в метрике (21.38). С помощью преобразований симметрии в'=е1Тв, у=у(и) строятся волновые решения уравнений Эйнштейна — Максвелла из соответствующих вакуумных решений.
Cm.: [Ehlers (1962)].
30.5.4. Заключительные замечания
Преобразования симметрии вместе с линейными комбинациями векторов Киллинга и теоремой 30.8 обеспечивают нас мощным инструментом для построения решений. Главной областью применений является класс стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна — Максвелла. Многие решения или классы решений были переоткрыты с помощью этих методов построения решений (например, решение Керра — Ньюмена, вселенная Мелвина, решение Брилла, электровакуумный класс Вейля), но в некоторых случаях были найдены действительно новые решения, например черная дыра Керра в магнитном поле, внешнее поле вращающегося заряженного источника, внутреннее решение Райснера — Нордстрема и новый класс электростатических полей Эйнштейна — Максвелла.
Возможности построения новых решений еще не полностью исчерпаны. Последовательное применение различных процедур ограничено на практике до нескольких шагов, так как (непосредственные) вычисления слишком громоздки.
Методы построения решений в общем случае изменяют инвариантные характеристики (тип по Петрову, группу движений) таким образом, что можно построить нетривиальные решения даже из плоского пространства. Однако если пространство-время допускает два коммутирующих вектора Киллинга и двумерные поверх-
ности, ортогональные групповым орбитам, то эти свойства сохраняются при использовании отмеченных выше методов построения решений.
30.6. Другие методы построения решений
30.6.1. Процедуры предельного перехода в метриках
Существует возможность нахождения новых решений уравнений Эйнштейна с помощью предельного перехода из известных решений. Предельные переходы в метриках были исследованы Геро-чем. Согласно его работе [Geroch (1969)] сделаем следующие замечания.
Если в метрике Шварцшильда
ds2=( I—А,-3/-’)-'dr2+/-2 (d62+sin20d(p2) — (I—X-V-1) dt2
(30.65)
произвести преобразование
X=Kr; R=K-4; P=X-1G, (30.66)
331
содержащее явно параметр X, то получится интервал
ds2= (X2—T-l)-ldx2+t2(d92+k-2 Sin2Xpdff2)-{k2—x~l)dR2, (30.67)
и в пределе Х-»-0 будем иметь метрику Казнера (11.50) (pi=p2= =2/3, рз=—1/3):
ds2=x~idR2+x2 (dp2+p2cftp2) —т dx2. (30.68)
В то же время если вместо преобразования (30.66) использовать координатное преобразование *=r+X-4; P=X-4O1 то получим плоское пространство-время в пределе Х-И). Пределы определяются не единственным образом.
Другие примеры получения новых решений с помощью взятия соответствующих пределов даны в § 18.6 и 19.1.2. Необходимо выбрать преобразование таким образом, чтобы существовал предел при Х->-0. Для этой процедуры ие существует общего рецепта. Примеры, приведенные в литературе, были найдены интуитивно.
Конечно, существуют «тривиальные» пределы, получаемые, когда параметр в метрике просто полагают равным нулю. В более интересных случаях предел Х->-0 связан с преобразованием, которое содержит параметр X.
