Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
324
(1980b)]:
(30.48)
где Y имеет вид:
(30.49)
а (р, г) — канонические координаты Вейля. Условия интегрируемости уравнений (30.48) приводят к уравнению Эрнста (17.39) (заметим, что в Г не входит произвольный параметр с). Чтобьг получить Г из if и х. надо положить у=1 в (30.48).
Заданное Г° приводит к множеству решений (ii>0m, х°т) уравнений (30.48), которые отличаются на константы интегрирования (обозначенные индексом т). Из преобразований Бэклунда следует рекуррентная формула Для if и %, включающая на каждом шаге новое решение из множества (i|>0m, %°т). После N рекуррентных шагов найдем, что потенциал Эрнста [QNeugebauer (1980а)] определяется из уравнения
где ст — константы.
Из (30.48) следует, что а=—i|>0/X0 является решением обобщенного уравнения Риккати:
Метрика, построенная из действительной метрики, также будет действительной, если применить четное число рекуррентных шагов и если справедливы равенства
Г —г» 1 1
Г + Г° а,Х, аг1г
Г —Г» X22
Г+Г’ atK3, аг1\
(30.50)
(30.51)
Q. Го + fi" с (д - V7) + Г*. t (a* Vf -а)];
(30.52)
а
Полную метрику (17.20) нового решения можно получить из ф0т и X0Jn с помощью чисто алгебраических операций. Каждый рекуррентный шаг соответствует преобразованию Харрисона [Harrison (1978)], а также связан с преобразованием, которое нашел Косгроув [? Cosgrove (1979а,b)].
Белинский и Захаров [? Belinski, Zakharov (1978, 1979)] исходили из линейных уравнений, эквивалентных (30.48) [использовавшийся ими специальный параметр X связан с с в (30.49)]. Подход Белинского и Захарова (разложения в окрестности полюсов на комплексной Х-плоскости и далее решение системы алгебраических уравнений) эквивалентен методу преобразований Бэклун-да; точное соотношение обсуждалось в работе [QCosgrove (1980)], Мэйсон [Maison (1978)] рассмотрел другую форму задачи на собственные значения для линейных уравнений, см. также [QMaison (1979)] *.
30.5. Применения
В настоящем параграфе дано несколько примеров применения техники построения решений. Все они относятся к стационарным аксиально-симметричным вакуумным полям и полям Эйнштейна— Максвелла.
30.5.1. Построение новых вакуумных полей нз известных вакуумных полей
Решение Керра (18.25) можно получить из метрики плоского пространства-времени, если применить преобразования Бэклунда [в (30.50) N=2] или эквивалентные методы. Решение Керра также было построено из решения Шварцшильда [Kinnersley, Chitre
(1978)] и из специального комплексного решения, принадлежащего классу Ван-Стокума (18.23) [Herlt (1978)].
Применение преобразований Бэклунда [в (30.50) N=2] к решениям класса Вейля (см. § 18.1) приводит к новому классу стационарных метрик, содержащих произвольную функцию потенциалов [DNeugebauer (1980b)], см. также [DCosgrove (1979b)].
При N=4 из метрики плоского пространства-времени можно получить нелинейную суперпозицию двух решений Керра — НУТ [?Kramer, Neugebauer (1980)]. Это решение определяется потенциалом
%= (1—Г)/(1 +Г) =det A/det В;
* Явная детерминантпая форма вакуумных солитонных решений, построенных В. А. Белинским и В. Д. Захаровым, получена Г. А. Алексеевым (Докл. АН СССР, 1981, т. 256, с. 827). Аг=солитонные решения уравнений Эйнштейна — Максвелла найдены Г. А. Алексеевым в работе: Письма в ЖЭТФ, 1980, т. 32, № 4, с. 301. — Примеч. ред. перевода.
326
sm = e‘“m Yp3 + (2- CmY, /га = I,, 4, (30.54)
где Cm и o)m — действительные параметры. Решение Томимацу — Сато при 6=2 возникает как предельный случай c3->-ci, C4-^C2.
Киннерсли и Читре [KinnersJey, Chitre (1978)], Хенселарс и др. [? Hoenselaers е. а. (1979)] построили асимптотически плоские решения, которые соответственно являются обобщениями решения Томимацу — Сато при 6=2 и решения Керра.
Чистое преобразование симметрии (30.25в) переводит класс Вейля (см. § 18.1) в класс Папапетру (см. § 18.3). Из решения Керра можно получить решение Демяньского — Ньюмена [De-
mianski, Newmen (1966)]
ds1 = e~2U I(г* — 2тг -[- a*cos* 0 — Iі) (^db3 — -\-R‘ sin* 0dtps —
_ ег"(a + »-»-+dT)': (30.55)
Р^г'-Иж+і'-Г; e2"=l—2Re[f + i;+»+|)].
Эта метрика принадлежит к вакуумным решениям типа D (см. § 25.5); она содержит как решение Керра (1=0), так и решение НУТ (а=0).
Теорема 30.9 показывает, как решения класса Папапетру преобразуются к решениям класса, рассмотренного в § 18.4.
Cm.: [Sneddon (1975); ПТапаЬе (1979)].
30.5.2. Построение полей Эйнштейна — Максвелла из вакуумных полей
Здесь мы должны рассмотреть общие преобразования симметрии (30.23), в частности преобразование Харрисона (30.30) (см. теорему 30.5), преобразование Боннора (30.44) (см. теорему 30.8) и операцию (30.47).
Преобразование (30.30) переводит решение Шварцшильда (S=d<) в решение Брилла (см. § 11.3.1), а плоское пространство-время (§=<?9) в решение Мелвина (20.10) или его электрический аналог. Взяв в качестве преимущественного вектора Киллинга в метрике Керра (18.25) ?=<?,., получаем следующий вид комплексных скалярных потенциалов:
Ф = 0; <? — — (гг + аг) sin2 6 + 2таі (3 — cos* 0) — cos 6 ~ma.sln 4-.
