Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
30.6.2. Прием перехода на комплексную плоскость
Некоторые новые метрики были открыты с помощью формальной процедуры, которую в общих чертах можно описать следующим образом. В заданной метрике сначала допускается, что координаты могут быть комплексными, а затем выполняется комплексное координатное преобразование таким образом, чтобы в результате получалась новая действительная метрика.
Такой «прием с комплексной плоскостью» был использован Ньюменом и др. [Newman е. а. (1965)], чтобы «вывести» новое решение уравнений Эйнштейна — Максвелла из метрики Райснера — Нордстрема
dsг=г* (df + sin* 6d?s) - 2dudr - (l - — + j du*. (30.69)
Было сделано допущение, что радиальная координата х1=г и запаздывающее время Jt4=W могут принимать комплексные значения; изотропную тетраду формально заменяли выражениями
к = дг; 1=ди — -^-д/,
ш=2 2 7--(3, + ^016)-1^); (30.70)
гл ,,, I I т т ег
M = M (г, г)=1------——— + —.
' г гг
Для действительных значений координаты г (30.70) есть изотропная тетрада в метрике (30.69). Первоначально никакой убе-
332
дительной причины для выбора тетрады именно в таком виде не было известно. «Прием» был затем оправдан в рамках формализма для алгебраически специальных полей [Talbot (1969)]. После комплексного координатного преобразования
r'=r+ifl cos 0; и'=и—і a cos 0 (30.71)
получаем из (30.70) новые тетрадные компоненты
(30.72)
__\
ш' = 2 2 (л' + іa cos 0)~’ [<?в4-і (sinfl^’^ + ia sin 0 [ди — <?,)].
Для действительных значений координат г', и' соответствующая метрика есть метрика Керра — Ньюмена (19.19).
Демяньский [Demianski (1972)] нашел наиболее общее вакуумное решение, которое получается из комплексной изотропной тетрады (30.70) [где M=M-M(г, г') остается неопределенной]; при этом выполняется комплексное координатное преобразование r'=r-\-iF(Q, ф); и'=и+іО(0, ф); 0'=0, ф'=ф (F и G— действительные функции своих действительных аргументов 0 И ф) и требуется, чтобы новые координаты Ґ, и' были действительными. Полученное в результате решение определяется выражением (25.60); в общем случае оно принадлежит к типу II по Петрову. В случае не равного нулю космологического члена, Л=?^0, Демяньский получил метрику
ds2=—[l—(2mr+2b2) (/¦«+ft2)-1—
—Л(г+5й2)/3] (du+2b cos 0<ftp)2—2(du-\-2b cos 0tftp)dr+
+ (r24&2) (d02+sina0(*p2). (30.73)
Вакуумные метрики типа D с вращением (см. § 25.5) можно получить из соответствующих метрик без вращения, используя «прием с комплексной плоскостью» [Basey (1975)].
Если в (30.69), (30.70) положить е=0, то из решения Шварцшильда будет построено решение Керра. Совершенно в другом смысле решение Керра можно рассматривать как комплексифици-рованное решение Шварцшильда. Некоторые вакуумные метрики Керра — Шилда (см. § 28.2) можно получить из производящего (комплексного) потенциала у, который одновременно удовлетворяет двум уравнениям Ду=0, (Vy)2=74 в плоском трехмерном пространстве. Решение этих уравнений y=r^1=(x2-\-y2-{-z2)-l/2 дает метрику Шварцшильда; решение Керра получается при у= =г-1 с помощью смещения начала координат по мнимой оси z-*-z—і a [Schiffer е. а. (1973)]. Относительно соответствующего рассмотрения полей Эйнштейна — Максвелла см. [Finkelstein (1975)].
CjM..- [Demianski (1973)].
333
Г лава 31
Специальные векторные и тензорные ПОЛЯ
31.1. Римановы пространства, допускающие постоянные векторные и тензорные поля
31.1.1. Постоянные векторные поля
В силу определения тензора кривизны само существование постоянного векторного поля а,
Aft1C=O, (31.1)
накладывает жесткие условия на тензор кривизны и метрику: поле а является (или пропорционально) постоянным векторным полем в том и только том случае, если оно удовлетворяет условию
ObRb Cde=O (31.2)
и всем уравнениям, полученным повторным дифференцированием (31.2).
Уравнение (31.2) показывает, что четырехмерное пространство, допускающее четыре постоянных вектора, обязательно плоское. Постоянство метрики gab и существование трех постоянных векторов означает существование четвертого постоянного вектора (который завершает систему из трех) в снлу (3.2), и, следовательно, пространство опять плоское.
Если существует два постоянных вектора а и b (являющихся линейно-иеза-висимымн), то при рассмотрении тетрадного представления тензора кривизны из (31.2) следует, что этот тензор можно выразить через простой бивектор Асл:
Асдае=0—Ас(іЬс. (31.3)
!личных случая в зависимости о' еизотропными. Если можно,
Аы=РеЧл—Ясрл', Oebc=Q; pcqc=0;
(31.4)
(Р*Ра) {Яъць)фв\ (а'ае){ЬлЬ*)фО.
В противном случае, когда один из векторов обязательно является изотропным, например b=k, и их произведение равно нулю, имеем
Aab=Pakb- kaPbl papa=fcOi ^^ ^
аса°ф$; kaka=aaka=kapa=Q.
В первом случае (31.4) метрику можно преобразовать к виду
ds2=gAB(x\ X2)dx*dx*+e, (dx3) Ч-е2 (rfJf4)2;
a«=6v, &C=6V, A, B=I, 2; Є], e*=±l. (31.6)
В силу (31.3) тензор энергии-импульса Tei пропорционален (acaa/as)-±--\-(bcbi/b2). Во втором случае (31.5) получаем
