Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
V
(уравнения Риччи).
Три последних уравнения (32.10)—(32.12) являются наиболее важными уравнениями теории вложения. Они записаны полностью в терминах рассматриваемого пространства V4, используя только векторные и тензорные поля в V4.
Если V4 принадлежит классу вложения р, то оно должно допускать р тензор ных полей QJ1 и р(р—1)/2 векторных полей t^, которые удовлетворяют урав
ненням (32.10) — (32.12); константы ea =+ 1 выбираются соответствующим образом; и если р есть минимальное число, при котором уравнения (32.10) — (32.12) должны удовлетворяться, то V4 принадлежит классу вложения р. При р > 1 тензоры Q^b и векторы определены метрикой пространства V4 не единственным образом, в силу возможности выполнения вращения (псевдовращения) в каждой точке Vi базисных единичных векторов паА, ортогональных V4. Этн степени свободы можно использовать, чтобы упростить уравнения (32.10) — (32.12) в специальных случаях (см. § 32.5).
Если в тождества Бианки =0 ввести тензор кривизны (32.10), то
в результате получаются тождества, включающие производные тензоров SJ,. Оказывается [Gupta, Goel (1975); Goenner (1977)], что, как следствие этнх тождеств, часть уравнений Кодацци (32.11) удовлетворяется автоматически. В этом смысле уравнения Гаусса (32.10) и уравнения Кодацци (32.11) не являются полностью незавнсимымн друг от друга. В некоторых исключительных случаях должны удовлетворяться только уравнения Гаусса, чтобы гарантировать свойство вложения данного пространства V4.
32.3. Некоторые теоремы о локальном изометрическом
вложении
К сожалению, в общем случае не известно практического способа решения уравнений Гаусса — Кодацци-—Риччи (32.10)—(32.12), пригодного либо для определения всех решений уравнений Эйнштейна данного класса вложения, либо для определения класса вложения данной метрики. К настоящему времени прогресс достигнут на следующих трех направленнях: а) в получении решений для классов вложения один и два, б) по точному вложению определенных ме.'рнк или классов метрик и в) в нахождении связи между классом вложения и другими свойствами метрики, такими, как специальные векторные и тензорные поля, группы движений. Отложим обсуждение результатов а) и б) до следующих разделов, а здесь рассмотрим направление в).
345
32.3.1. Общие теоремы
Для полноты начнем с повторения теорем, упомянутых в § 32.1. Если обозначить через Vn(s, t) риманово пространство,в котором есть «пространственноподобных и t — временно-подобных направлений, н через En (S, Т)—псевдоев-клидово объемлющее пространство, то справедлива следующая теорема TEisenhart (1949); Friedman (1965)].
Теорема 32.1. Произвольное аналитическое риманово многообразие Vn (s, t) можно изометрически (локально) вложить в EN(S, Т), при этом sA-t=n, SA-T= = N, n^N^n(n+l)l2, s^S, t^T.
Соответственно класс вложения р пространства Vn не более чем п(п—1)/2. Для пространства-времени п—4 и р^.6.
Если два пространства Vn и Vn конформно связаны, “gab= gab> то их соответствующие классы вложения также связаны. Это можно видеть, исходя из вложения (32.3) при N=n-\-p пространства Vn в плоское (р-\-п)-мерное пространство. При этом соотношения zA=euyA; Zfl+'=
=&(г\авУаУв-\[*)\ (32.13)
zN+3=ev (павУл1/в+1/4)
описывают вложение Vn в плоское (п-\-р-\-2)-мерное пространство. Таким образом, установлена
Теорема 32.2. Если два пространства находятся в конформном соответствии, то их соответствующие классы вложения отличаются не более чем на два. В частности, класс конформно-плоских пространств не более чем два.
Примером конформно-плоского пространства класса вложения один является метрика Робертсона — Уолкера
ds2=f2(t) [rfq^-j-sin’cp (difc2-j-sin2t|><ia2) ]—dt2, (32.14)
вложение определяется следующими выражениями;
у1 = f (t) сот, у; y2 = f (0 sin у cos Ф;
(32.15)
У3 + і У* = f (Osin f sin Феіа; у6 = ^ *(t) + I dt;
dsг = (dy')* + (.If)2 + (dy3)* + (dy*)2 - (dy*)*.
32.3.2. Векторные и тензорные поля и класс вложения
Существование специальных векторных и тензорных полей в V4 может сделать его класс вложения ниже максимального значения р=6.
В качестве примера рассмотрим пространство V4, которое допускает существование неизотропного векторного поля v, удовлетворяющего условию
Sg.Jiab = SS0 (gab - = 0. Wa = 0- (32.16)
В системе координат, определяемой с помощью t»i=(0, 0, 0, у4), условие (32.16) означает /і4і=0, Ajil4=O, т. е.
ds* = Aag (xv)rfxarfx3 + tv~2 (Vidxi)2, (32.17)
a, P=I1 2, 3, e=±l.
(В случае временно-подобного единичного векторного поля, і;“/»=«“, его необходимо называть бессдвнговым и нерасширяющимся; оно описывает жесткую конгруэнцию.)
Если вектор ValV является градиентом (vidxilv=dx*), то метрика допускает постоянное (ковариантно) векторное поле [ср. с (31.8)]. Так как haэ есть часть метрики, являющаяся метрикой пространства Vj, и может быть вложена в пространство не более чем 6 измерений, то получаем теорему:
346
Теорема 32.3. Если пространство V4 допускает неизотропное постоянное векторное поле, то его класс вложения р^З.
