Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(32.55)
Eek t Ж 4-
xOP= K4-2fcr2 ’ (K + 2kr*y ’
К, k = const; е = + I! s = і I.
32.4.4. Решения класса вложения один для поля чистого излучения
Как было отмечено выше, решение в случае изотропного поля, когда Таь=
=Ф2*а?б, может принадлежать классу один только в том случае, если выпол-
няется либо
Qab=Akakb+Czazb, еАС=х„Ф2>0, (32.56)
ЛНб° Qab=B(^ZbjrZakb) — еВ2=хоФ2>0 (32.57)
(kaza=Q=kak11, Z0Za= 1).
В обоих случаях уравнения Гаусса дают
Rabtd=X0(S)2 (kakcZbZi-\-ZaZckbki—kakdZbZc-ZaZdkbkz), (32.58)
23—99 353
и в силу
Cabciki=O=Rabkb (32.59)
эти решения принадлежат типу N по Петрову.
Изотропное векторное поле к, являясь полем собственного вектора в случае метрики типа N, удовлетворяющее (32.58), геодизическое и бессдвиговое. Кроме того, в обоих случаях (32.56) н (32.57) уравнения Гаусса — Кодацци означают, что вектор к является также нормальным и не имеет расширения. Следовательно, все решения в случае изотропного поля класса вложения один обязательно принадлежат к классу Кундта (см. гл. 27).
Случай Qab=Akakb-I-CZaZb. Здесь уравнения Гаусса — Кодацци показывают, что (в подходящей калибровке) изотропный вектор к является постоянным. Как показано в § 21.5, поля чистого излучения типа М, обладающие постоянным изотропным вектором, можно преобразовать:
ds2=dxl-\-dyi—2dudv—2Н (х, у, u)du2; (32.60)
6.= (0, 0, 0,-1): х„Ф
Zi= (ги Z2, 0, Z4).
Общее решение уравнений Гаусса — Кодацци не известно. Метрика
ds2=dr2-\-r2dq?—2 dudv—
—2[га(и)+р(и)]?Ги2; (32.61)
kt=(0, 0, 0, —1); Z1= (0, г, 0, 0,); еА=а(и);
С=г~'; хоФ2—аг-1 является частным решением, тензор электромагнитного поля имеет вид:
Fab = kapi, kbpa,
(32.62)
Vr pi — Va (cos <|>, —г sin Ф, 0, 0);
Ф = у /2 + S (и).
Случай Siab=B(kaZb-\-zakb). К этому классу принадлежат два различных типа, в зависимости от того, является изотропный вектор к постоянным или нет.
Если к постоянно, то уравнения Гаусса — Кодацци допускают только метрику [Collinson (1968Ь)]
ds2=dx2-\-dy2—2dudv—[a(u)x-f Р(м)y\2du2; е——I;
Х(*Ф2=а2-гР2. (32.63)
Соответствующее электромагнитное изотропное поле имеет вид:
Fab=kapb—pakb\ Pi=(CtCOSq), р sill ф, 0, 0); ф=<р(и). (32.64)
Если k непостоянно, то метрика обязательно имеет вид [Collinson (1968b)]:
4» Г I Vі 1
ds2 = dx2 + dy1 + — dvdx — 2dudv — 2 I а (и) + p (и) ху + 8 (а) х — — I du2;
(32.65)
хоФг=2а/*2.
He существует поля Эйнштейна — Максвелла с метрикой (32.65), поскольку для него нельзя удовлетворить условию интегрируемости Д In Ф2=0.
354
32.5. Точные решения класса вложения два
32.5.1. Уравнения Гаусса — Кодацци—Риччи и теоремы о метриках класса
В соответствии с общей теорией, схематически изложенной в § 35.2, пространство V4 имеет класс вложения два в том и только том случае, если существуют два симметрических тензора Qob(=Q1ab), ЛаЬ(=?22аб) и вектор ta, удовлетворяющие
Тензоры Qoi,, Ааь и вектор tа определены не единственным образом. Если величины (Q0;,, Ааь, fa, Єї, е2) удовлетворяют уравнениям вложения (32.66) —
(32.68), TO HM же удовлетворяют величины (Qa о, Лоб, ta, ёи ё2), где
Это преобразование соответствует вращению (псевдовращению) в двумерном пространстве, ортогональном V4 в объемлющем пространстве E6; оно может быть использовано, чтобы упростить Q0i, и Ааь при заданном тензоре кривизны.
Некоторые простые чисто алгебраические услоьия можно вывести из уравнений вложения. Используя свойство тензора Леви-Чивиты
В силу антисимметрии входящих сюда тензоров единственная информация в (32.72) состоит в следующем:
Так как тензор кривизны и тензор Вейля всегда удовлетворяют условию
тензор кривизны может быть заменен в (32.73) тензором Вейля [Goenner (1973)].
Теорема 32.12. Если пространство V4 принадлежит классу два, оно обязательно удовлетворяет условиям (32.71) и (32.73).
вложения два
R a bed— (Q о ей b d Si a dSl be )
“І-(AacAbd---AadAbc) I
Q a b;c Q а с; b~-&2 (tcAab t bAac) > Aa b;c—Аас;Ь—~—Є[ (ZcQa Ь—tЬ Qa с) ', ta ; 6 111; a = Q а г Ac b AacQC6-
(32.66)
(32.67)
(32.68)
Slab —Л Q0 ft-f-BAa b ;
Aa b — CSi a b~DAa Ь Ї Fa= (Л D—BC)ta-irelCA,a-\-e2DB.a, если функции Л, В, С, D удовлетворяют условиям
(32.69а)
е\=е\A2-^e2C*; e2=eiB2-\-e2D2] ё,=е,Л 2^e2B2; «2=ЄіС2-гЄ202; єiAC~\-€2BD^=Ot, ?(АВ-|-б2С1)=0.
(32.696)
Za ticr^ SianSlbmSl cpSidq—Enmp qSi/g (
(?5 — детерминант П0ь), получаем [Yakupov (1968a, b)J
e,a>>cdEnmT,eVQihRiibnmRcdpq^rtih=Q I
Объединяя уравнения Гаусса и Риччи, получаем [Malsumoto (1950)]
(32.70)
(32.71)
(32.72)
Erdmn RabedRabmn = =—eie28e'dmntc:itm,n.
ТП П —
(32.73)
(32.74)
23*
355
Таблица 32.2. Решения класса вложения один
таЬ Tan по Петрову яаЬ Кинематическая классификация Метрика Тип метрики Общее решение известно
Идеальная жидкость: Pgab + ((*• + + Р) UaUb 0 Aajib + Cgab — (8.35) Решение де Ситтера Да
О Il # 0 = 0 (32.40) Обобщенное внутреннее решение Шварцшильда Да
Q 8- Il о ВфО (32.46) Обобщенное решение Фридмана Да
