Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
В — все решения известны;
H — некоторые (частные) решения известны.
Вместо слов «теорема» и «глава» используются, соответственно, сокращения Т. и Гл.
33.2. Связь между типами по Петрову и группами движений
В ч. II и III были рассмотрены совершенно независимо два метода инвариантной классификации гравитационных полей, а именно: по группам движений и типам по Петрову. Мы видели, что многие решения, допускающие группу изометрий, являются алгебраически специальными, и наоборот. Изредка, если это нам было известно, упоминался тип решения по Петрову, которое было проклассифицировано в соответствии с лежащей в основе его структуры группой, или решение определенного типа по Петрову было отнесено к определенной группе движений. В этом разделе и в табл. 33.3 мы хотим собрать известные результаты, касающиеся взаимосвязи между этими двумя инвариантными классификациями.
Если известна группа движений и возникает вопрос о возможном типе по Петрову, то следующие факты накладывают некоторые ограничения.
1. Существование группы изометрий Hs {см. § 9.2) означает, что тензор Вейля является вырожденным, т. е. тип по Петрову есть N, D или 0. В частности, группа Gz, действующая на неизотропных орбитах Vi, означает тип D или 0 (см. теорему 13.1).
2. Статические решения принадлежат типам I, D или 0 (см. § 16.6.1).
3. Стационарные аксиально-симметричные вакуумные решения не могут принадлежать типу III (см. § 17.5). Для всех допустимых типов по Петрову подклассы, допускающие группу Gr с г~^3, были определены Коллиисоном и Доддом [Collinson, Dodd (1971)].
Некоторые алгебраически специальные пространства Эйнштейна (Rab==Agab) с однородной гиперповерхностью (см. гл. 11) были определены Шиклошем [Siklos (1978)1. Кроме частного вида плоских волн (см. § 21.5) и решений с Л-членом в (10.8), (11.42), (11.46) и (11.47) Шиклош получил решение Робинсона — Траутмана типа III по Петрову (24.15), т. е.
ds* = r3x~3 (dx’-j-dy’) — cIdudr -j- -у Xdui, (33.1)
где векторы Киллинга ду, ди и 2(xdx-\-ydv)+rd,—иди образуют группу GzVh с h=—1/9, его обобщение при А#0 (11.45) и одно-
ЗСЗ
родные решения без расширения (10.33) и (10.34). Эти два последних решения принадлежат классу Кундта (см. гл. 27) и определяются в метрической форме (27.7) выражениями (Я = ]/| A j1 Л <0):
ds2=2(Xx)~2(dx2-\-dy2)—2du(dv-\-2vdx/x-\-xdu), (33.2)
ds2=2 (Я*) -2 (dx2-\-dy2) —2 du (dv-\-+2vdx/x-\- (4x/3%) dy-\-2x*du).
(33.3)
Как было найдено Кайгородовым (1962), они принадлежат к пространствам Эйнштейна типа N и III максимальной подвижности (максимальный порядок Gr): группами движения являются Gs для (33.2) и Gi для (33.3); в обоих случаях существует подгруппа G3VIh с ft=—l/9.
Будем теперь считать определенным тип по Петрову и обратимся к группам движений. Для различных типов по Петрову алгебраически специальных вакуумных полей с расширением
Таблица 33.1. Алгебраически (P^O) ^ размерность макси-
специальные вакуумные решения с мальной группы Gr и соответ-
расширением максимальной подвижности
ствующие решения приведены в табл. 33.1.
Результат, полученный Коллинсоном [Cdlinson
(1969)], состоит в том, что вакуумные решения типа N с вращением допускают не более чем группу Gі. Другие ограничения на размерность максимальной группы были получены Керром и Дебни [Kerr, Debney (1970)] и подтверждены Хелдом [Held (1976а,Ь)], который использовал видоизмененный формализм Ньюмена — Пенроуза (см. § 7.3).
Вакуумные решения типа/) допускают либо G2, либо Gi. То же самое остается справедливым для полей Эйнштейна — Максвелла типа D (19.6).
Керр н Дебни [Kerr, Debney (1970)] определили все алгебраически специальные вакуумные решения с расширением, допускающие группу Gr с г>2, и некоторые решения, допускающие группу Gi. Этими последними решениями являются 1) решение Де-мяньского (25.60); 2) следующее решение:
Тип .10 Пеїрову Враще- ние Макси- мальная группа Решение
N <о ф 0 G1 Н, (25.71)
<о=0 G2 Н, табл. 33.2
III to ф 0 G1 Н, (33.4), т -)- IM = 0
м=0 G3 В, (33.1)
; и «о фО G2 Н, (25.60), (33.4), (33.5)
<о = 0 G2 Н, табл. 33.2
D «о фО G2 В, § 25.5
<о = 0 G, В, (24.20)
т-\-Ш = т0-\- іM0 — const, Sbt = (\/2 х)г = (С + S)':
(33.4)
364
Г ¦ ^ ] 3 1'
L= і —г^л:-34-іл: 6 У 2 1
(СіХУіЗІ2 + Сгх-У]3,\
где Cl, C2— действительные константы, которое является специальным случаем (25.47) [преобразование (25.27) с f=?, F.u=I связывает (33.4) и (25.27)], и 3) решение
$> = 1, -да + Ш = 2Л(1 - 3/<х)гг3/“;
(33.5)
1 = Ж^1-3/“ + Я?Г,/'1; Rea = I1
где А и В — комплексные константы. Решения (33.4) и (33.5) допускают соответственно группы G2I и G2H и принадлежат классам
(25.43) — (25.47) и (25.58), (25.59). Вакуумное решение класса
(25.43)-(25.47), допускающее G2H, было получено Луном [DLun (1978)]; оно имеет вид:
т + \М = (да, + ІМ.)С3/2, 5s* = (С + С)3;
(33.6)
да + і M
3.7-
+
S^y/x,
где mo, Af0. Л, B —действительные константы.
Классы (25.43) — (25.47) и (25.58), (25.59) исчерпывают все алгебраически специальные вакуумные решения с расширением, которые допускают группу Gi, генерируемую асимптотически временно-подобным полем вектора Киллинга %=ди [Held (1976); Zenk, Das (1978)]. Алгебраически специальные вакуумные реше-
