Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
360
дельными лучами (см. § 21.5), которая будет конформно-плоской, только если
Н,хх=Н,м=Хо<1^/2, Н,ху=0. (32.102)
Таким образом, мы пришли к метрике
ds2=dx2-\-dy2—2dudv—y.0(D2 (и) (х*-\-у2) du2/2. (32.103)
Соответствующее поле Максвелла всегда существует и определяется выражением
Fab=V(U) (kaPb-Pakb)', p0=(coscp, sin Ф, О, 0), ф=ф(ы). (32.104)
Теорема 32.17. Единственным конформно-плоским решением в случае поля
чистого излучения или изотропного электромагнитного поля является частный
случай плоских волн (32.103), (32.104) с постоянным изотропным собственным вектором k [McLenaghan е. а. (1975)].
Метрики этих волн являются единственными конформно-плоскими рекуррентными метриками с ненулевым рекуррентным вектором (см. § 31.2 и табл. 32.3).
32.6. Точные решения, имеющие класс вложения р>2
До настоящего времени не проводили систематического исследования методов отыскания решений, имеющих класс вложения больше, чем два. Причина этого неуспеха, вероятно, состоит в отсутствии какого-либо полезного метода систематического изучения уравнений вложения. В частности, способ, когда сначала решаются уравнения Гаусса с помощью чисто алгебраических методов (т. е. тензоры й“ос выражаются через тензор энергии-импульса или через тензор кривизны), а затем решаются остальные уравнения вложения, здесь не годится, так как уравнения Гаусса слишком сложны.
Мы можем только указать некоторые метрики, для которых класс вложения известен либо из общих теорем, приведенных в § 32.3, либо из факта существования точного вложения. Этими метриками являются:
P=3:
а. Статические аксиально-симметричные вакуумные решения (класс Вейля, см. § 18.1, [Szekeres (1966а); Collinson (1968а)]. Некоторые из них имеют класс P=2; б. Вакуумная метрика типа III по Петрову (27.40) с группой G1 '[Collinson (1968а)], в. Мир Геделя (10.25) [Collinson (1968а)].
P=4:
Все решения Робинсона — Траутмана (см. гл. 24) [Collinson 1968а)].
32.7. Замечания по вопросу глобального вложения
Почти весь материал, который освещался в настоящей главе, касался только вопроса локального вложения, т. е. вложения открытой односвязной окрестности точки данного пространства V4. Для сравнения можно рассмотреть глобальное вложение V4. Число дополнительных измерений, необходимых для вложения, может быть значительно больше, чем для локального вложения.
Глобальное вложение пространства может дать более глубокое понимание геометрических свойств пространства-времени. В самом деле, максимальное аналитическое расширение решения Шварцшильда было найдено с помощью метода вложения [Fronsdal (1959)]. До сих пор не было сделано систематического анализа глобального вложения точных решений. Известен только верхний предел класса вложения: компактное (не компактное) пространство-время V4 имеет класс вложения не более, чем р=46 (р=87).
Cm.: [Friedman (1965); Penrose (1965); Clarke (1970); Greene (1970)].
Часть V ТАБЛИЦЫ
Г лав а 33
Взаимосвязь между главными классификационными схемами
33.1. Введение
Как уже было указано в гл. 1, решения эйнштейновских уравнений поля можно классифицировать (н они проклассифицированы) в соответствии с (по крайней мере) четырьмя главными классификационными схемами, а именно: относительно групп симметрии, типов по Петрову, тензоров энергии-импульса, специальных векторных и тензорных полей. В то время как первые две схемы использовали иа протяжении всей книги, другие играли только второстепенную роль; взаимосвязь между типами по Петрову и группами движений рассматривали также только в некоторых случаях.
Эта последняя глава посвящена взаимосвязи первых трех классификационных схем, упомянутых выше. Она состоит главным образом нз таблиц. В § 33.2 дается (далеко неполная) классификация алгебраически специальных решений относительно групп симметрии. В § 33.3 содержатся четыре таблицы, в которых решения [указано также, существуют ли и (или) известны эти решения] протабулированы в зависимости от тензоров энергии-импульса, типов по Петрову и групп движений.
Для решений в случае идеальной жидкости связь между кинематическими свойствами 4-скорости (см. § 6.1) и группами движений обсуждали, например, в работах [Ehlers (1961); Wa-inwright (1979)].
Читатель, интересующийся вводным обзором по классификации решений относительно некоторых инвариантных свойств, должен обратиться (кроме предметного указателя и содержания) к следующим таблицам и параграфам:
§ 9.1, табл. 9.1, с. 90 по метрикам н группам движений;
табл. 10.1, с. 100 по однородным решениям;
§ 11.1, 11.5 по решениям с однородной гиперповерхностью (допускающим группу G3 на орбитах V3);
§ 22.1—22.3 по алгебраически специальным решениям;
362
табл. 25.1, с. 253 по алгебраически специальным вакуумным решениям с вращением;
табл. 28.1, с. 302 по решениям Керра — Шилда;
табл. 32.2, с. 356 по решениям класса вложения один;
табл. 32.3, с. 360 по решениям класса вложения два.
В таблицах настоящей главы используются следующие обозначения: IjD — не существует;
