Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
(уравнения Гаусса) и
й<.6;с=йас;Ь (32.25)
(уравнения Кодацци),
где е=+1 выбирается подходящим образом.
Если существует тензор й-'оь, то уравнения Кодацци являются следствием уравнений Гаусса и тождеств Бианки fcp. Goenner (1977)]:
Теорема 32.10. Если существует несингулярный симметрический тензор Qaь, удовлетворяющий уравнениям (32.24), то пространство-время имеет класс вложения р= 1.
Из уравнений Гаусса (32.24) и полевых уравнений следует
xO (^ab 2 Sab^0 c^=Rab~e ^ас^Сь) ¦ (32.26)
Благодаря алгебраической простоте этого уравнения, все возможные тензоры Q0ь, которые соответствуют тензору энергин-импульса идеальной жидкости или тензору энергнн-импульса максвелловского типа, могут быть определены. Здесь требуются непосредственные вычисления, начинающиеся с подходящего тетрадного представления Таь и ?2аЬ. Если тензор ?5а(1 известен, то тип по Петрову легко можно получить из (32.24). Имеют место четыре различных случая, а именно [Stephani (1967а)]:
а. Метрики в случае идеальной жидкости типа 0 по Петрову (конформноплоские)
Tab=={\i‘~\~P)UaUb~\-PSab] ?2ab==AnaWb—(32.27) хоЦ=ЗС2>0, X0P=C(2/1—3С), e=-J-l.
б. Метрики в случае идеальной жидкости типа D по Петрову
Tab= UaUb-\-pgab\
Qab=2CuaUb-±Cgab-\-AVaVb', (32.28)
VaVa= I, UaVa=0, ИоЦ=е(ЗС-(-2Л)С, X0P=eC*, АСф0.
в. Поля чистого излучения типа N по Петрову
Tab=4>3kakb, kaka=0\
?lab=Akakb-\-CzaZb\ ZaZa= I; (32.29)
zaka= 0; eAC=xоФ2;
и
Tab=Wkakb, kaka=Q\
Qo b=B(kaZb-\-Zakb)', ZaZa= I; (32.30)
ZaIia=0; —еВ2=у.аФ2.
Соответствующие пространства будут определены в следующих разделах. В каждом из четырех случаев функции А, В, С и векторные поля и, v, k, z должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись уравнения Гаусса — Кодацци (32.24), (32.25). Чтобы получить метрику, используются уравнения Кодаццн (и часть уравнений Гаусса) для нахождения предпочтительных векторных полей, в соответствии с ними выбираются координаты, и делается попытка решить
оставшиеся уравнения Гаусса. В случае электромагнитного изотропного поля
уравнения Максвелла также должны удовлетворяться.
В следующей теореме говорится о других типах тензора энергии-импульса. Теорема 32.11. He существует решений класса один уравнений Эйнштейна — Максвелла с неизотропным электромагнитным полем ] Coliinson (1968b)] и не существует вакуумных решений класса один.
349
32.4.2. Конформно-плоские решения для случая идеальной жидкости класса вложения один
Задача, которую мы должны решить, следующая: найти все метрики с тензором кривизны (32.24) и тензором І2аб,определяемым выражением (32.27), т. е. все метрики с тензором кривизны
Rabed=Ci (gaegbd—godgbc)-|-
-\-СА (gacUbUd+gbiUaUc—gadUbUc—gbcUaUd). (32.31)
ЇВ силу теоремы 32.10 уравнения Кодацци являются следствием тождеств Бианки при СфА\ C=A отвечает либо (если 0=0) вселенной Эйнштейна (32.41), либо (если <дфО) это частный случай метрики (32.46).] При C=O пространство-время является плоским.
Почти тривиальным решением (32.31) является
Л=0; XoT-Ot=-ЗС^оь; Cs=Const1 (32.32)
которое соответствует пространству постоянной кривизны (пространству де Сит-
тера). Допуская отрицательные значения ц, (С2<0), мы тем самым показали, что пространства постоянной кривизны имеют класс вложения один (или нуль, «ели они плоские). Начиная отсюда, будем предполагать Аф0.
Исходя из (32.31), получаем нз тождеств Бианкн
ио;ь=—йо“ь-|-вЛоь/3, (32.33)
Аоь=^оь+Ио«ь;
тюле скоростей является нормальным и бессдвиговым. В сопутствующей системе отсчета, когда Ui= (0, 0, 0, и«), метрика принимает вид
ds* = h^dx^dx" - (U4) W2, (32.34)
ц, V=I, 2, 3.
Кроме того, тождества Бианкн дают
C=C((); д,С=вАи4/3;
(32.35)
0=0(0; А,а=Аиа—Айа-
Дальнейшие вычисления зависят от того, имеет ли поле скоростей расширение (0^0) или нет (0=0).
Решения без расширения. Если 0=0, то из (32.33) и (32.35) следует
С = const, dth^ = О, А = u*f (t). (32.36)
В силу (32.36) пространственная часть уравнений Гаусса (32.31) имеет вид
V,=К™=сг <vA« - v»)- (32-37>
-так что трехмерное пространство Aflv является пространством постоянной кривизны
H
<fa* == х __ єуг + гг (rf8s + si..2ed?2) - (UiYdt'. (32.38)
Остающиеся уравнения Гаусса
C(A-C) (U4)1 h„ = -U1 (иа. 4. , - и,. ,. 4) = a, (Uii „ - Г>4, v) (32.39)
являются системой дифференциальных уравнений для функции «4, которые можно полностью проинтегрировать. В результате [Stephani (1967а); Kramer
.350
е. а. (1972)] имеем метрику dr2
ds* = і _ C2ri + гг И2 + sin2 Srfy2) — (u4)2rf<2; (32.40)
Ui = rf, (Z) sin 9 sin у + rf2(Z)sin 0 cos f + rf3 (/) cos 0 + f4(Z) l'/"l — C2r2 — C-
*V = 3C2 = const; x0/)= —x„[j. + 2Cm4; A = и*(ф const).
Можно видеть, что все эти конформно-плоские решения без расширения являются обобщением внутреннего решения Шварцшильда (14.14) (f 1=/2=/3=0, /4= =Const), содержащими четыре произвольные функции времени. В общем случае метрика не допускает вектора Киллинга.
Решения в случае пыли (р=0) не включены в класс (32.40); р=0, |1=?0 приводит к тому, что 2Л=ЗС = const, а й равно нулю в силу (32.35), т. е. и ковариантно постоянно. Это совместимо с видом (32.31) тензора кривизны, только если A=C=0, т. е. пространство-время обязательно плоское.
