Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для характеристики римановых миров можно использовать скалярные алгебраические инварианты, которые можно построить из тензора кривизны и его ковариантных производных до (k—2)-порядка. Для пространства Vn число независимых инвариантов есть
В пространстве V4 число инвариантов тензора кривизны, следовательно, равно N (4,2)=14 (ср. с § 5.1), а в случае вакуума это число уменьшается до 4; существуют неплоские метрики, для которых все 14 инвариантов равны нулю, а именно метрики специальных плоских волн [Strunz (1974); Kerr (1963b); Singh е. а. (1969); Gehiniau, Debever (1956а)].
В дифференциальной геометрии существует хорошо известная теорема [Ei-senhart (1949), с. 143], согласно которой каждое (аналитическое) четырехмерное пространство-время V4 можно рассматривать (по крайней мере локально) как подпространство плоского псевдоевклидова пространства Eu размерности Л/^10. Если выбрать декартовы координаты уА для описания En,
A= 1
то подпространство V4 (координаты ха) будет определяться параметрическим представлением
ул=уА(х“), (32.2)
а метрика этого подпространства, как следует из (32.1), имеет вид:
(31.72)
N(n, 1)=0, N(2, 2)=1.
Глава 32
Локальное изометрическое вложение четырехмерных римановых многообразий
32.1. Необходимость вложения
d S2 = 2 еА(іуЛу- = 1ілв'Іу^іу8, еА = ± і,
(32.1)
ds2=gabdxadxb=r\AByA,ayB,bdxadxb,
А, В, ...= 1 ...М, a, 6...=1...4.
(32.3)
343
Если-выполняются три уравнения (32.1)-(32.3), то они описывают локальное изометрическое вложение V4 в Eu- Минимальное число дополнительных размерностей называется классом вложения р (или просто классом) рассматриваемого пространства V4, О^р^б.
Делали попытки придать физический смысл плоскому пространству, а также использовать его как вспомогательное пространство для отчетливого представлення или вывода физических свойств вложенного пространства-времени. Наша точка зрения в данной книге более прагматическая. Инвариантность класса вложения ведет к появлению схемы классификации всех решений эйнштейновских уравнений поля относительно соответствующих им классов вложения. С математической точки зрения эта классификационная схема имеет равные основания с классификациями относительно групп движений или типов по Петрову и совершенствует обе эти схемы. Более того, есть надежда с помощью метода вложения получить точные решения, по крайней мере для некоторых простых случаев низших классов вложения, н именно те решения, которые еще не могут быть получены другими методами. Нас не интересует вложение само по себе; здесь не будут определены или приведены функции уА=(ха). Большое количество точных вложений можно найти в работах [Rosen (1965); Collinson (1968а)]. Другие аспекты проблемы вложения обсуждаются в работе [Goenner (1980)].
32.2. Основные формулы, управляющие вложением
Чтобы более глубоко понять геометрические свойства вложения, описываемого формулами (32.1)-(32.3), введем в каждой точке V4 jV-угольник и рассмотрим изменение этого jV-угольника вдоль V4, т. е. рассмотрим коварнантную производную относительно координат хп пространства Vt.
Рассматриваемый /V-угольник состоит из четырех векторов уА,а (векторов в Err, о=1, 4), касательных к V4, и из р единичных векторов я“А(а=1, ...
..., р), ортогональных V4 и друг к другу:
T)j4BneVB=eaeaS, е“ = ± 1; (32.4)
W“Ye = °- (32.5)
(В этих и последующих формулах суммирование по греческим индексам имеет место только в том случае, если это указано специально.)
Ковариантиые производные (коварнантные относительно координат хп и метрики gab) базисных векторов паА и ув,а являются векторами и тензорами (соответственно) в V4, ио, кроме того, векторами в объемлющем пространстве Es и поэтому являются линейными комбинациями базисных векторов. Исходя из метрики (32.3), получаем
gab;c=0=T) АВ(УЛ .а,сЦВ,Ъ+УЛ .аЦВ,Ь-,с) (32.6)
н, вычитая затем отсюда выражения, полученные подстановкой (cab) н (abc) вместо (acb), делаем заключение, что выполняется равенство
Г\лвУв,сУв.а;Ь=0. (32.7)
Уравнение (32.7) показывает, что ув,а-,ь является вектором, ортогональным V4, который, следовательно, можно выразить как линейную комбинацию нормальных векторов паВ:
yBa;b = ^VB' ^? = ?,¦ (32.8)
a
Определяемые этим уравнением, р симметрических тензоров (тензоров
в V4) являются обобщениями на высшие размерности тензора второй фундаментальной формы, используемого в теории гиперповерхностей.
Аналогичным образом нз (32.4), (32.5) и (32.8) делается заключение о выполнимости
п:Аа = - Qjlg6Vr+2е? 'Г»**, t+(32-9>
9
344
Определенные выражением (32.9) р(р—1)/2 векторов t?a (векторов в Vi) иногда называют векторами кручения.
Тензоры и векторы не могут быть заданы произвольно. Они должны
удовлетворять условиям интегрируемости системы (32.8), (32.9), которые оказываются следующими:
Rated - 2 е“ (QIcQld - QlPlc) (32.10)
а
(уравнения Гаусса);
Kb-, г - 6 = S е? - <g‘QD (32-11)
3
(уравнения Кодации);
%Ь ~ Ca = S*' W *а - tI9 С) + Bat VcA - ^ь) (32.12)
