Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
то оба его изотропных собственных вектора к и 1 являются бессдвиговыми и геодезическими (и, следовательно, главными изотропными векторами тензора Вейля, если Ru=Rn=Ru=O, (ср. с теоремой 7.1). Кроме того, функции AuB должны удовлетворять условиям
DA = AA = SB = 0; SA2 = (гё — т) (А2 + В*);
(31.60)
DB2 = — (р +7) (A2 + S2); AB2 = (^ + ?) (А2 + В2).
Если пространство-время является вакуумным решением, то выполняется (31.57).
Если пространство-время допускает тензор Кшпинга (31.59) при условии, что (AtaBib-AtbBi а) (A-aB'ь — А'ЬВ’а)ф 0 и RabAiaBib = 0, то оно допускает двухпараметрическую абелеву группу изометрий, коммутирующую с Каь [Hauser, Malhiot (1976)].
Cm.: [Petrov (1966), с. 319; Williams (1968); Sommers (1973); Hauser, Malhiot (1974, 1978); Cosgrove (1978); ? Dietz, Rijdiger (1979)].
II. Теоремы о тензорах Киллинга — Яно.
Теорема 31.5. Если пространство-время допускает невырожденный кососимметрический тензор Киллинга — Яно, то этот тензор можно записать следующим образом: _
abc=A(lbkc—kblc)-\-iB(mbfnc—тътс), (31.61)
тензор Вейля принадлежит типу D (или 0); вырожденными, геодезическими и бессдвиговыми изотропными собственными векторами являются 1 и к, тензор Риччи удовлетворяет уравнениям
Rbc4cd^-Rcdacb=0, (31.62)
а действительные функции AuB должны подчиняться условиям
DA=AA=SB=O;
D(A-+\B)=—p(A+iB); Д(A-HB)=Ji(Л+іВ); (31.63)
б (A-fiB) =—т (А-Н'В); б (A-HB) =п (А+ІВ)
[Collinson (1974), 1976b); Stephani (1978)].
341
Теорема 31.6. Все вакуумные решения типа D, которые допускают симметрический тензор Киллинга Кьс (см. теорему 31.3), также допускают кососимметрический тензор Киллинга аЬс, эти тензоры связаны соотношением (31.50). [Collinson (1976b); Stephani (1978)].
Теорема 31.7. Если пространство-время допускает вырожденный кососимметрический тензор Киллинга Льс, то этот тензор можно записать в виде
где к—(изотропный) вектор Киллинга, тензор Вейля принадлежит типу N (или 0), к является кратным собственным вектором, а тензор Риччи должен удовлетворять (31.62) [Collinson (1974); Stephani (1978)].
Теорема 31.8. Если пространство-время допускает кососимметрический тензор Киллинга третьего ранга, т. е. вектор а удовлетворяет (31.51), то а является постоянным изотропным вектором, или пространство-время является конформ-но-плоским [Collinson (1974); Stephani (1978)].
31.4. Некоторые замечания относительно метрик с другими специальными свойствами
Кроме векторных и тензорных полей, которые рассматривали до снх пор, существуют некоторые другие, которые равным образом можно использовать для характеристики пространства-времени. Дополнительно можно использовать более общие концепции классификации метрик. Нам хотелось бы отметить некоторые из них и дать ключевые ссылки для более подробной информации.
Группа голономий (инфинитезнмальная) в точке & есть группа нелинейных преобразований, вызываемых параллельным переносом вектора вдоль замкнутой кривой (гомотопичной нулю) через точку &. Она, следовательно, является подгруппой группы Лоренца в точке &. Ее свойства связаны с классификацией по Петрову и возможностью существования постоянных тензорных полей в пространстве-времени, а также с единственностью метрики, определяемой Rabcd JGoldberg, Kerr (1961); Beiglbock (1964); Ihrig (1975)].
В римановых пространствах существуют различные симметрии, описываемые свойствами инфиннтезимальных преобразований Xi=Xt0A-V (х) dr; некоторые из ннх имеют очевидную геометрическую интерпретацию. В качестве обобщения движений, т. е. векторов (Киллинга) |, удовлетворяющих
(31.64)
^\&nm Sn: m Sm; я
(31.65)
можно рассматривать:
конформные движения
(31.66)
2# пт — 2K(*)gпт'<
гомотетические движения
^lSnm — ^egnnjl Я — COnsl,
(31.67)
проективные коллинеации
(31.68)
аффинные коллинеации
(31.69)
коллинеации Риччи
0;
(31.70)
коллинеации кривизны
342
ShP^bnm—0.
(31.71)
Конформные движения [Петров (1966), с. 272] сохраняют углы между двумя направлениями в точке и преобразуют изотропные геодезические в изотропные геодезические. Гомотетические движения [McIntosh (1976, 1979)] дополнительно к этому умножают все расстояния на один и тот же постоянный множитель н сохраняют аффинные параметры на изотропной геодезической. Проективные коллинеации преобразуют геодезические в геодезические; аффинные коллинеации в дополнение к этому сохраняют аффинные параметры на геодезических [Katzin, Levine (1972) J. Очевидно, что движения, аффинные коллинеации и гомотетические движения автоматически являются коллинеациями кривизны. Однако существуют римановы пространства Vn, допускающие коллинеации кривизны, генерируемые не вектором Киллинга [Katzin е. а. (1969); Collinson (1970)]. Коллинеации Риччи рассмотрены Дэвисом и др. [Devis е. а. (1976)].
Если пространство-время допускает правильную постановку задачи Коши, то набор данных Коши содержит всю информацию о пространстве-времени, и симметрии пространства-времени можно охарактеризовать через эти данные Коши [Coll (1975b); Berger (1976); O’Murchadha, Jork (1976)].
