Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
' 1 ' 1 ' ’ r + \a cos S
(30.56)
С помощью преобразования (30.30) (y=B0/2) строится «намагниченное» решение Керра, которое было явно определено Эрнстом и Уайлдом [Ernst, Wild (1976)]. При больших значениях радиальной координаты г это решение становится близким к магнитной вселенной Мелвина (магнитное поле Во). В нем имеется несингулярный горизонт событий. Таким образом, это решение описывает черную дыру Керра в магнитном поле.
327
Применение преобразований симметрии (?==<?<) с подходящим образом выбранными параметрами к решению Керра дает решение Керра — Ньюмена (19.19); параметр НУТ также можно включить в рассмотрение.
Используя теорему 30.8, Боннор [Bonnor (1966)] построил из решения Керра поле массивного магнитного диполя:
ds• = e~2U ^Ajc8 + W2df) - e2Udt*;
— AjCOSs 8 — 2/ИГ)* w
Imzvua ил — [(г _ ту + (аг + /л*) cos2 8]J Л
X (db1 -j- ~ri_ YmJ ): W = {r'-a*-2mr)s\n'b (30.57)
aU________________________________________________/._2wr N8j ф 2ia/wcos8
^ r* — a* cos* 8y ’ r* — a* cos* 8 ’
Исходя из этого решения, Крамер и Нойгебауэр [Kramer, Neugebauer (1969)], а также Эспозито и Виттен [Esposito, Witten
(1973)] построили поле Эйнштейна — Максвелла с помощью преобразований симметрии (30.25):
Ф = і/Л-С+П^ + т^о-') ¦ g = + (30.58)
V Y 1 — 2тФ, — YY^o 1 — 2їФ,— YY^O
где Sq, Фо являются потенциалами решения Боннора (30.57); улв и W не меняются, а функция А в метрике (17.15) определяется выражением
Я _ 4ІО/Я (Y-Y) Slnt 8 (1 — + пп CQ.
гг — 2mr — a1 cos2 в (I-Yf)2 * ' ^
Это решение описывает асимптотически плоское внешнее гравитационное поле вращающегося заряженного источника, но оно отличается от решения Керра — Ньюмена. Статический предел (а=0) приводит к решению Дармуа (18.9). Магнитный потенциал не содержит монопольного члена.
Теорема 30.8 ставит в соответствие классу вакуумных полей Вейля (см. § 18.1) класс электростатических полей Вейля (см. § 19.1.1). Сочетание теорем 30.8 и 30.9 ведет к появлению класса электростатических полей Эйнштейна — Максвелла, который был построен из класса вакуумных полей Вейля Готро и Гофманом [Gautreau, Hoffman (1970)].
Класс Херльта (19.4) электростатических полей Эйнштейна — Максвелла был построен с помощью последовательного применения инверсии <§Г—>ч1Г—1 и замены Д-исо из действительных решений класса Ван-Стокума (18.23).
Решения Томимацу — Сато (см. § 18.5) при наличии заряда были получены несколькими авторами (например, [Ernst (1973); Wang (1974)]). Последовательное применение теоремы 30.8 н преобразований симметрии группы SU (2,1) к решениям Томимацу — Сато дает стационарное решение уравнений Эйнштейна — Макс-
328
велла, зависящее от пяти параметров [Onengut, Serdaroglu (1975)] *.
Хаузер и Эрнст [Hauser, Ernst (1979)] систематически изучали способы построения электровакуумных решений из мира Мин-ковского с помощью преобразований симметрии группы SU (2,1).
Наконец, заметим, что для асимптотически плоских стационарных полей Эйнштейна — Максвелла, построенных из соответствующих вакуумных полей с помощью преобразований симметрии, гиромагнитный множитель равен гиромагнитному множителю электрона, g=2, ц=е///гс (ц— дипольный момент, J — угловой момент) [Ryan, Treves (1975)].
Cm.: [Voorhees (1972); Das, Banerji (1978); Ray, Wei (1977)].
30.5.3. Обобщенные преобразования симметрии
До сих пор формализм пространства потенциалов из § 30.2 применяли только к полям Эйнштейна — Максвелла вне источника.
Обобщим теперь метод преобразований симметрии на случай заряженных идеальных жидкостей при условии, что 4-скорость пропорциональна временно-подобному вектору Киллинга ? [аы;,] = =0. В этом случае лагранжиан (30.16) должен быть дополнен слагаемым 2хо VyF-'p [Kramer е. а. (1972)]. При преобразованиях симметрии (30.16) этот дополнительный член также остается инвариантным при условии на давление р:
p/F=po/F0, (30.60)
где Po, Fo — величины в исходной метрике.
Очевидно, что преобразование (ЗО.бО). переводит поверхность Ро~0 исходного решения в поверхность р—0 нового решения, построенного с помощью преобразований симметрий. Для электростатических полей Эйнштейна — Максвелла, содержащих заряженную идеальную жидкость, плотность энергии ц и ллотность заряда ст можно вычислить из давления p=p(F, х) с помощью дифференцирования
p-\-y. = 2FdpfdF\ a=Y—\F!2dpldy. (30.61)
(Эти соотношения следуют из ТаЬ;ь=0.) Этот метод был применен к внутренней шварцшильдовской метрике (14.14). В результате было получено регулярное внутреннее решение Райснера — Норд-
* Применение теоремы (30.8) в комбинации с алгоритмом построения вакуумных солитонных решений (см. § 30.4) приводит к построению семейств солитонных решений для электростатических или плоскополяризованных волновых полей Эйнштейна — Максвелла, содержащих любое число свободных параметров, см.: Алексеев Г. А. Гравитация и электромагнетизм. Минск, Изд-во Б ГУ, 1981, с. 63. — Примеч. ред. перевода.
329
стрема
ds' =75? [1T^-) ^+& + *•) + (ттяс)!
-'•=(В-4Й# далч
