Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
2Ф1а; *, = /-?- й, - ^\ь) =0. (30.20)
Комплексный самодуальный бивектор К*аь подчиняется точно тем же соотношениям, что и F*ab. Его производная Ли равна нулю, а равенство
Krt=O
следует из уравнений Эйнштейна
-L =- г;г ф. ^ac=Rab е -
- (^l) F*acF'"bct’=(Rab- =0. (ЗО-21)
где Таь — тензор энергии-импульса (5.7) электромагнитного поля. Таким образом, условие интегрируемости для &,а также удовлетворяется, и тем самым подтверждено существование потенциалов Ф и OS.
Из заданного решения (Ф, <?, уаь) уравнений Эйнштейна —
АЛ Я ї? ЛПР TT п я
6L/6YaO=0; 6?/6Ф=0; 6?/б«Г=0 (30.22)
можно определить (в таком порядке) F, ?0, пространственно-временную метрику и тензор электромагнитного поля с помощью соотношений (см. § 16.2):
= + +ФФ; к\,, = 2F-!(!;[a$b])*; (30.23)
+ ]/ ±F*ab = 2F-'(tlaO'b])\
Для полей Эйнштейна — Максвелла, допускающих неизотропное поле вектора Киллинга, действительными и мнимыми частями комплексных потенциалов <? и Ф являются координаты срА четырехмерного пространства потенциалов. Вследствие лагранжиана (30.16) метрика пространства потенциалов (30.6) принимает вид
ClS1 = L F~2\d$ 2Фс?Ф \2 -\-2F~'d<t>d<b. (30.24)
Для стационарных полей (F<z0) это пространство потенциалов имеет индефинитную метрику Gab с. сигнатурой (+ H--------------)¦
Для пространства-времени с пространственно-подобным вектором Киллинга I метрика (30.24) положительно определена.
Чтобы получить преобразования, относительно которых лагранжиан (00.16) инвариантен, необходимо решить уравнения Киллинга (30.7) для метрики (30.24). Так как пространство потенциалов V\ с метрикой (30.24) не является пространством постоянной кривизны, то согласно теореме (8.17) порядок его группы движений Gr есть /?^8. Оказывается, существует восемь независимых век-
315
торов Киллинга, с которыми связаны следующие конечные преобразования симметрии [Neugebauer, Kramer (1969)]:
#'=<ха&, Ф' =аФ;
+ i Ь, Ф'=Ф; *'=#(1+ІС#)-\ Ф'=(1+к#)-';
'i' —ё — 2|Ф — рр, Ф'=Ф-(-Р;
(30.25а)
(30.256)
(30.25в)
(30.25г)
(1 _ 2уФ — Ф'—(Ф + т#)(1 -2y®-yT*)''- (30.25д)
Комплексные константы а, р, у и действительные константы Ь, с являются восемью действительными параметрами группы изометрий Gg. Так как пространство потенциалов допускает существование группы Ge, тензор Риччи Rab пропорционален метрике Gab [Егоров (1955)].
Уравнения Эйнштейна — Максвелла (30.22) инвариантны относительно произвольной комбинации преобразований (30.25). Следовательно, доказана следующая
Теорема 30.2. Если (Ф, &, уаь) —решение уравнений Эйнштейна— Максвелла (с неизотропным полем вектора Киллинга), то любой набор (Ф', <g', Yob). полученный применением произвольного произведения преобразований симметрии (30.25), также является решением.
Заметим, что выполняется равенство у'аъ=уаь; преобразуются только потенциалы.
Преобразования (30.256) и (30.25г) являются просто калибровочными преобразованиями потенциалов; метрика пространства-времени gab и тензор электромагнитного ПОЛЯ Fab остаются неизменными. Преобразование (30.25а) описывает дуальное вращение
комбинированное с переопределением масштаба координаты хп вдоль вектора Киллинга %=дп. Только преобразования (30.25в) и (30.25д) действуют на пространство-время и поле Максвелла нетривиальным образом.
Произведение преобразований (30.256), (30.25в) и (30.25а) (в пределе Ь-*-оо, c=b~l, a=i&_1) приводит к преобразованию инверсии
которое отображает калибровочные преобразования (30.256) и (30.25г) в нетривиальные операции симметрии (30.25в) и (30.25д) соответственно.
Cm.: [Kinnersley (1975); Kramer е. а. (1972)].
(30.26)
(30.27)
316
30.3.2. Частные случаи преобразований симметрии
Некоторые трансформационные теоремы, приводившиеся ранее в литературе, дают специальные случаи общих преобразований симметрии (30.25):
Теорема 30.3 [Ehlers (1957)]. Из любого статического вакуумного решения (метрики gij) можно получить стационарное вакуумное решение (g'ij) с помощью преобразования
g'ii=ch 2U(f^ga+liti) — (ch 2(J) -lUiUi;
(30.28)
E4flu^n1 = Ulijl; UiE1=-I; е^=-?Є
Уравнение для щ интегрируется вследствие U,k^k=0 и уравнений (16.55) для статических вакуумных полей. Соответствующим преобразованием симметрии является (30.25в).
Теорема 30.4 [Buchdahl (1954)]. Из любого статического вакуумного решения (метрики ga) можно получить другое статическое вакуумное решение (g'i/) с помощью преобразования
g\Ч = eiuSu + (е2У - е-6У) Ц., е" = - M'. (30.29)
Соответствующим преобразованием симметрии является инверсия
(30.27), которая принимает простой вид U'=—U для статических вакуумных полей.
Теорема 30.5 [Harrison (1968)]. Из любого вакуумного решения, допускающего неизотропный вектор Киллинга, можно получить решение уравнений Эйнштейна — Максвелла с помощью преобразования
-Yyg1)-1; ф' — у<?(1 — УТ^)-1. (30.30)
где V — комплексная константа.
Преобразование (30.30) является в точности преобразованием (30.25д) при Ф=0. Харрисон [Harrison (1965, 1968)] постулировал функциональную зависимость между гравитационным и электромагнитным потенциалами, т. е. в терминах Ф и Й’ соотношение ф=ф(<?Г). Он не исследовал систематически все возможные преобразования симметрии. Очевидно, что для полей Эйнштейна — Максвелла, построенных из вакуумных полей с помощью преобразования (30.30), потенциал Ф является линейной функцией <S. Вулли [Wolley (1973b) ] предположил, что бивекторы F*ab И К*аЬ в (30.17), удовлетворяющие уравнениям Максвелла р*аЬ;ь=
