Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
SP2StO-K = х/п (х0т + К); (29.20)
К = 2SP*dzd~ In Sb; 2т = р-\-Зр = const.
Если найдено решение &>(%, ?) этого уравнения, то можно получить другие функции, входящие в метрику, и давление р из (29.14) и следующей системы уравнений:
dxW (С, Q = — і (х0т + K)'2SP2 ]/2, W = -W; (29.21)
с>с In R (С, С) = 2\W; (29.22)
xitp (?, С, г) =2 (Re2ir + Re~2tr) + xjn - К; (29.23)
2Н (С, I, г) =х0 (т — р). (29.24)
Эти метрики допускают вектор Киллинга, коллинеарный 4-скорости
и‘ = (о, 0, 0, [ха(т — р)\ 2). (29.25)
306
которая, следовательно, не имеет расширения и сдвига. Возможны только типы II или D по Петрову.
Частное решение имеет вид:
К+щт=0=> W=О, R=R(I).
(29.26)
При =Const оно содержит решение, допускающее группу G\ на r=const (ср. с § 11.4).
Большинство алгебраически специальных решений в случае идеальной жидкости принадлежат к типу D по Петрову, но, как показывает следующий обзор, известно только незначительное число таких решений типа D.
В решениях типа D два кратных изотропных собственных вектора 1 и к определяют выделенное двумерное пространство Е. Единственным известным решением с 4-скоростью и, не лежащей на 2, является аксиально-симметричное решение Валквиста (14.40) [см. Wainwright (1977а)]. Для всех остальных известных решений выполняется
а вращение со°=EabcdUbUc-,,а и сдвиг оаь поля скоростей, кроме того, подчиняются условиям
Следуя [Wainwright (1977а)], проклассифицируем все решения, удовлетворяющие (29.27) и (29.28), в соответствии с ускорением й и коэффициентами Ньюмена — Пенроуза х, v, а, к [можно показать, что для рассматриваемых решений х=0 (<т=0) в том и только том случае, когда v=0 (X=O) ]. Ни для одного из частных случаев не известен полный перечень решений.
Частный случай о =2=0; u[akjc] = 0 содержит все решения
для идеальной жидкости с локальной симметрией относительно вращения. Они рассмотрены Стюартом и Эллисом [Stewart, Ellis (1968)] [см. также Wainwright (1977Ъ)]. Решения типа D, рассмотренные в § 29.1, 29.2, также принадлежат к этому частному случаю. Важными примерами являются решения для сферически-симметричной идеальной жидкости и пыли, а также модели Кантовского— Сакса (см. гл. 13, 14 и § 12.2).
Частный случай з = 2 = 0; u[akblc,=0 содержит решение, найденное Барнсом [Barnes (1973а)]; оно может быть получено из решения (16.66), если положить А и В зависящими от t.
Частный случай з=^0; 2=^=0; u[akblc]=Q содержит решение Ожвата (10.28), допускающее группу Gi на V4, решение типа I по 20* 307
29.3. Решения типа D
(29.27)
(29.28)
29.3.1. Решения с H=V = O
Бнанки (12.216) и решение (20.44), допускающее абелеву группу G2.
He известно решений, для которых з и Л и Ujt0Icx одновременно не равны нулю.
29.3.2. Решения с хфО, V=^O
He известно решений, для которых х, V, а и К одновременно не равны нулю. Решения Барнса (16.67) и (16.68) являются примером, когда а=Х=0, но WjaVfl Ф 0.
Много разнообразных известных решений содержится в частном случае 3 = X= uakbtei— 0. Все они имеют метрику вида
ds* = 2e*bdlUK + e2adrt-dtt; u = dt (29.29)
и были рассмотрены [Szekeres (1975)] (в случае пыли), [Szafron
(1977); Tomimura (1977); Szafron, Wainwright (1977); Wainwright 0977b)]. Чтобы обеспечить ифО и афО, а,с не должно равняться нулю. Необходимо различать два случая: Ь,гф0 и Ь,г=0. В обоих случаях плотность массы ц можно вычислить из
и» (^ + 3/>) = - 2 (а + а* + 26+2 Ьг). (29.30)
Если b зависит от г, то метрика должна иметь вид
ds* =Фг (г, t) [23»-г (С, С г) dCdf-f (дг In {Ф3»-’})г dr2] - dt\ (29.31)
где ^—^-пространство имеет постоянную кривизну К (г) ,
9 (С л, Г) = а (г) CC + P (г) С +I (г)Й- 8 (г); (29.32)
/С(г)=2(а8-рр),
а функция Ф(г, t) есть решение обыкновенного дифференциального уравнения (типа Фридмана)
2ФФ+ФЧ-х0р(0 O2=I—/С (г). (29.33)
Чтобы получить явное решение, необходимо задать давление p(t) и функции а (г), б (г) (обе действительные) и р(г) (комплексную), а затем решить (29.33) .
В случае пыли (р=0) дифференциальное уравнение (29.33) интегрируется с помощью
Ф2—2/л(г)Ф-1=1— /С (г), (29.34)
которое может быть полностью решено [Szekeres (1975)]. Решения имеют вид (13.38). В общем случае эти решения для пыли со-
держат пять произвольных функций г и не допускают вектора Киллинга [Bonnor е. а. (1977)]. Замечательно, что они могут быть сшиты со сферически-симметричным статическим внешним решением Шварцшильда [Bonnor (1976)].
308
В случае идеальной жидкости (когда рф0) решения уравнения (29.33), для которых
XoP(I) =Ч?(г)Ф^1г, 0, (29.35)
легко можно получить из решений для пыли при
I—K(r) =Const ф2 (г); m=const <р3.
Другой пример явного решения для идеальной жидкости был получен Сафроном [Szafron (1977)] в виде
/C=I, ®=te(r)f1-*+A(r)f,]a/l; Зхор=4<7(1—q) tr* (29.36)
(случай q—1/2 приводит к конформно-плоскому пространству-времени). Оно допускает по крайней мере один вектор Киллинга. Если Ь не зависит от г, то метрика должна иметь вид
ds2 = Ф2 (f) \2@'2 (С, Cj d«C +{А (г, t) + &-'(U (г) С Г+ V (г) C +
