Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что лагранжиан (30.4) инвариантен при определенных преобразованиях (преобразованиях симметрии) потенциалов фА:
ФА/=ФА'(фВ)) L'=L(y'«6. ФА/, • • •) (30.5)
(метрика Yab остается неизменной, у'аь=уаь)- Инвариантность лагранжиана означает, что полевые уравнения (30.3) также инвариантны при (30.5). Следовательно, если первоначальные функции (фА. Yab) удовлетворяют полевым уравнениям, то новые функции (фА/| tab) им также удовлетворяют, и в общем случае функции (фА/. Yab) дают действительно новое решение.
Чтобы найти преобразования симметрии для данного L, припишем второму члену лагранжиана (30.4) метрику [Neugebauerr Kramer (1969)]
(IS2=Gab(Vc) d<fAdyB (30.6)
N-мерного абстрактного риманова пространства, т. е. пространства потенциалов Vn с координатами фА. Потенциалы фА являются функциями пространственно-временных координат х‘, но эта зависимость нас здесь не интересует. Переход к интервалу (30.6) дает возможность исследовать инвариантность лагранжиана с помощью применения известных методов римановой геометрии. Нам просто необходимо решить уравнения Киллинга
*(А;В)=0 (30.7)
в метрике Gab; каждое решение (30.7) определяет инфинитези-
мальное преобразование потенциалов
ФА-*-фА-}-еХА(ф), (30.8)
которое оставляет dS2 инвариантным. R независимых векторов
Киллинга образуют группу изометрий (группу движений) Gr s^N(N+\)/2] метрики (30.6). Соответствующие конечные преобразования являются преобразованиями симметрии L, и, в общем случае, будут генерировать новые точные решения.
312
Дискретные симметрии лагранжиана (30.4) или метрики (30.6) можно найти, если взять соответствующие пределы от непрерывных преобразований симметрии.
Кроме изучения группы симметрий для упрощения полевых уравнений и для построения точных решений важны другие геометрические исследования пространства потенциалов (геодезические, подпространства). Эти вопросы будут кратко рассмотрены ниже.
Предположим, что потенциалы <рА зависят только от единственного потенциала к. Зависимость
<pA=(pA(b) (30.9)
сводит потенциальное пространство к одномерному подпространству. Полевые уравнения б?/й<рА=0:
A; a , I А \ а С, а п
9 +<„99 =U'>
1 \ВС( Т'“Т
( А \___1_ pAD / д°вр і ^gCD вс \
і BC ( = 2 \ df df &fD )
(30.10)
принимают упрощенный вид:
•А.-,а ( -A I I A I В Cx , , .а
* = ^ +(вер 9 ^Х'а ’
(30.11)
<рА — dyAfdX.
Потенциал к определен с точностью до масштабного преобразования к'=к'(к). Из уравнения (30.11) следует k,a;a=f(k)k,ak’a; поэтому всегда можно выбрать новое к, так чтобы А,,а:“=0. Если Как’аф=0, то полевые уравнения (30.3) сводятся к следующим:
^ = DYldX2= 0; в=±1, 0 (30.12)
[Neugebauer, Kramer (1969)], а уравнение Л.,а;а=0 следует из тождеств Бианки при условии, что є=^=0. (При е=0 трехмерное пространство с метрикой уаь является плоским). В силу (30.12) потенциалы фА можно определить как решения уравнений геодезических в пространстве потенциалов. Если к,ак’а=0, то потенциалы фА будут произвольными функциями к.
Во многих случаях можно свести задачу к двумерному подпространству Vn (N>2),
фА=фА(^ь (30.13)
Если ввести это параметрическое представление двумерного пространства в лагранжиан (30.4), то полевые уравнения (30.3)
313
примут вид
6L/6va6=0; MfiKi=0; 6L/6A,2=0. (30.14)
В § 30.3.4 будут рассмотрены двумерные подпространства пространства потенциалов для стационарных полей Эйнштейна — Максвелла.
Cm.: [Hoenselaers (1976)].
30.3 Преобразования симметрии для полей Эйнштейна — Максвелла
30.3.1 Пространство потенциалов и его группа симметрий
Методы, приведенные в общих чертах в предыдущем разделе, можно сразу же приложить к полям Эйнштейна — Максвелла, допускающим неизотропный вектор Киллинга. (Будем предполагать, что электромагнитное поле имеет ту же симметрию, что и пространство-время). Как частный случай сюда, конечно, включаются вакуумные поля.
Для наших целей существование скалярных потенциалов имеет решающее значение. В § 16.1—16.3 подробно показано, что полную систему уравнений Эйнштейна — Максвелла можно записать через комплексные скалярные потенциалы Ф, S и метрику трехмерного пространства уаь, которая определяется следующим образом:
Yob= I F\ (gab-F-'Ыь); F=Iala. (30.15)
Теорема 30.1. Для полей Эйнштейна — Максвелла без источников, допускающих неизотропный вектор Киллинга %, существует такой набор переменных (Ф, S, уаь), что уравнения Эйнштейна — Максвелла (16.38) — (16.40) следуют из вариационного принципа для лагранжиана
I = У Y [ я + i- F- Y0 (ё а + 2ФФ. J (ё „ + 2ФФ.) +
+ 2F-y4a®>6] (30.16)
[/? означает скалярную кривизну по отношению к Ya*, Y= = (Iet(Yab)L
Два комплексных скалярных потенциала Фи S определяются из (16.32) и (16.36):
Ф,а = Г^2^*Са; $.а = ГК*са; (30.17)
K*ab = -2%\b-V^~Q>F*ab.
Комплексный самодуальный тензор электромагнитного поля F*ab удовлетворяет условиям
Flab: Ci =0(=) F^ =0; (30.18)
StlFbab = F*^ е? + F*cb?. а + F*acr. ь = 0. (30.19>
314
Эти соотношения означают, что удовлетворяется условие интегрируемости для Ф,а:
