Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
303
Первый случай характеризуется тем, что коэффициент Ньюмена — Пенроуза V равен нулю, т. е. при этом
6,9=0; <?СЯ°=0; К=292д1д-\п9 =const. (29.7)
Очевидно, эти решения допускают действие группы Gz на двумерных пространствах r=const, u=const постоянной кривизны К и поэтому принадлежат к типу D или О по Петрову. Соответствующие метрики (включая сферически-симметричные решения) подробно обсуждали в гл. 13 и 14.
Во втором случае (v^O, х2 квадратична по г) метрика определяется выражениями (29.5), (29.6), где
X*=в (г1 - a*); Я* =J- t&'d'd- In 9; B1 = - Я+Cf; (29.8a) S=х*ф — Zm J x~*dr) + «а’с; в=н=1,
при этом действительные константы а, Ь, с, т и функция 9і должны удовлетворять соотношениям
а9ст =0;’ J-iC (с -|- 2Ь) = 0;
9х [3^9*3^- In 9 + а?диди (255*)"1] Zemdu XnSPAr
+ Cai(SPQd-In 9 - саг12) =0. (29.86)
В третьем случае (v^O, %2 линейна по г) метрика определяется выражениями (29.5), (29.6), где
X2=er; S=era+2e6r In гг; В2=—Я, (29.9а)
при этом Si Yi H0 должны удовлетворять условиям
292д\д- In 9 - еди In 9 = 2Ь; (20.96)
2<?С<?_Я° -fвди (Н°9 -2)=0.
Выражения (громоздкие) для ц, р и ненулевых компонент 'Рг, W3, 4% тензора Вейля в двух случаях (29.8) и (29.9) приводятся в работе Уэйнрайта. Они показывают, что решения в случае пыли, а также решения типа III и невозможны.
Кроме вакуумных решений Робинсона — Траутмана (см. гл. 24), которые содержатся в (29.8) как частный случай а=Ь=0 (=фе= =1, S=m), единственные известные в явном виде решения (29.8) или (29.9) представляют собой частный случай ди<р=Ь=0 в (29.9). При выборе е=1 (г>0) и S=2r они имеют вид:
ds2 = 2гйгЖ— 2dudr + 2 [Я° (С, u) + 2r]du*; (29.10)
хсН. = 3г-’ + Я»г-*/2; х0/> = - г -1 + FPr’42;
__i_
У2ив = -{Н* + 2г) 2S3a; (2д,дГ + ди)Н°=0. (29.11)
304
Если dc#° — 0, то опять приходим к (29.7). Нетривиальные (дМ°Ф^} действительные решения (29.11) могут быть легко построены.
В случае, когда геодезический кратный собственный вектор не имеет вращения, но имеет расширение и сдвиг, алгебраически специальные решения были рассмотрены Олсоном [? Oleson (1972)].
29.2. Решения с геодезическим, бессдвиговым, нерасширяющимся кратным изотропным собственным вектором
В этом разделе предполагается, что кратный изотропный собственный вектор к удовлетворяет условиям
W0 = 1F1 =0; х=о = е=0; р = -~рфО. (29.12) Заметим, что в силу (6.32) х=а=р=0 означает (j+p=0. Этот случай здесь исключим, следовательно, к обязательно имеет вращение (сй^=0). Представим опять только главные результаты, следуя во всем [Wainhright (1970)].
При решении полевых уравнений в качестве первого шага используется (29.12) и частично (29.2), для того чтобы ввести подходящие тетраду с координатную систему. Получаем
ds2= 29> - 2dZdZ - 2 [du + LdZ + Щ [dr + WdZ + WdZ+
-\-Н {du-\- LdZ + ЪсЩ[;
(29.13)
ml = P{- 1, О, W, L); т1=$>{0, - I, W, L);
/г = (0,_0, — Н, 1); kl = {О, О, 1, 0), р = г, где функция L(?, ?)—чисто мнимая и определяется с помощью действительной функции ^(?, ?) следующим образом:
dxL = -dxL = \p-21/2; х Y2 = C4- С (29.14)
Координаты и тетрада (29.13) принадлежат к типу Робинсона — Траутмана (23.27), если ввести в (23.27) значение p=i и взять 9* в (23.27) мнимой вместо действительной. Уравнение (29.14) соответствует лишь части (23.26), другая часть здесь не будет выполняться. Оказывается, что 4-скорость и имеет вид:
Ua У 2 =Bka+ В-'Iа; B2 =ио ((1+/7)/4. (29.15)
На втором этапе необходимо решить оставшиеся полевые уравнения, чтобы найти в явном виде неизвестные пока функции №(?, и) и #(?, ?, г, и). Могут возникнуть три различных случая.
Первый случай характеризуется тем, что 1^=0, дгдг(#+ +Хор/2) фО. Эти решения являются случаем IIIa, а+.Е=т=0 решений Стюарта и Эллиса [Stewart, Ellis (1968)]. Они симметричны относительно локальных вращений.
Второй случай характеризуется тем, что
ka,b-\-kb-a=0. (29.16)
Он включает все алгебраически специальные (не конформно-пло-
20—99 305
ские) решения для идеальной жидкости, для которых кратный изотропный собственный вектор k есть вектор Киллинга (имеющий вращение). Функция №(?, ?) выбрана чисто мнимой, a H (?, ?) имеет вид:
dxW = — dxW = i*,P&~*V2; 2Н = — *,р. (29.17)
Функции Js(С, С), /?(?, S) и (!.(С, С) должны подчиняться соотношениям
ЛЗ^д^д- In SP = ч0 (ц — 5р); = ха(р — ц) (ц + op). (29.18)
Чтобы получить метрику явно, необходимо решить (29.18) относительно р и ц (одна функция может быть задана), а затем определить Н, L и W из (29.17) и (29.14). Кроме вектора к метрика допускает второй вектор Киллинга %=ои. Если пространство-время не конформно-плоское, 4-скорость и имеет ненулевое вращение.
Частные решения включают вселенную Геделя (10.25), вселенную Эйнштейна (10.23) и решение типа II по Петрову:
р=:р=х; ZSP2=IxllX3;
2H = - х0х; W = ІЗ V2/4*; L = - ІЗ V2/8x0x\ (29.19)
которое допускает простую транзитивную группу G3 на x=const ,(см. § 11.4).
Третий случай характеризуется тем, что дг (*+*+)-0.
дгН -ф0. Единственное нетривиальное полевое уравнение, которое осталось решить, есть
