Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подгруппы группы SU (2,1) были проклассифицированы Монтгомери и др. [Montgomeri е. а. (1969)] с точностью до сопряжения, т. е. генераторы неэквивалентных подгрупп определены с точностью до преобразований группы SU (2,1). Следовательно, неэквивалентные классы, приведенные в табл. 30.1, можно расширить с помощью применения произвольных преобразований симметрии (30.25). Рис. 30.1 надо понимать следующим образом. Внутренняя часть круга представляет собой класс полей Эйнштейна— Максвелла, построенных из указанных полей (JT=O, S= =+1, S=—1 и S=S, Ф=Ф) с помощью операций симметрии группы SU (2,1). Например, класс S=-It открытый Демяньскнм
[Demianski (1976)], эквивалентен классу вакуумных полей (Ф= =0); оба случая связаны с помощью элементов группы SU (2,1). Невозможно перейти от одного класса к другому неэквивалентному классу с помощью преобразований симметрии (30.25), если под-
320
Рис. 30.1. Неэквивалентные классы стационарных полей Эйнштейна — Максвелла
пространство пространства потенциалов действительно является двумерным.
Перекрывающиеся области (на рис. 30.1 они заштрихованы) представляют те поля Эйнштейна — Максвелла, для которых потенциалы взаимно зависят друг от друга. В этом случае двумерные пространства вырождаются в одномерные подпространства пространства потенциалов (геодезические, см. § 30.2). Преобразования симметрии отображают в себя каждую заштрихованную область. Электростатические поля лишь с одним независимым потенциалом принадлежат к одному из классов S=—1, <§Г=+1 или S=O. Примером является решение Райснера — Нордстрема (13.21): это электростатическое поле Эйнштейна — Максвелла принадлежит к классу S=—1 при е2<т2, к классу S--(-1 при е2> >т2 и к классу S=0 при ея=т2. Эти три вида решения являются неэквивалентными по отношению к преобразованиям группы SU (2,1), которые оставляют величину т2—е2 инвариантной.
30.3.5. Комплексные преобразования симметрии
Если допустить комплексную метрику пространства-времени и комплексные электромагнитные поля, но сохранить действительными пространственно-временные координаты, то потребуется четыре комплексных потенциала Si, S2, Фь Фг- В метрике_пространства потенциалов (30.24) мы должны заменить S-^-S\, S^S2, Ф-*-Фь Ф->Ф2. После этой комплексификации группа изометрий пространства потенциалов имеет 8 комплексных параметров. Потенциалы и групповые параметры в преобразованиях симметрии (30.25) теперь рассматриваются как не зависящие от величин, комплексно-сопряженных с ними. Например, комплексифицированный вариант преобразований симметрии (30.25д) имеет вид:
ссг _._________, фг _.___Фі Yi^i .
1 1 2угФі YiY2^i' 1 I Sf2(J)1
(30.39)
wr ______________________. ф' __ Фа ~1~ їа^2__
° г I — 2у,Фг — YiY2<SV 2 1 — 2ї,Ф2 — у,уг&г'
(у-*уі, Yi и Y2 — комплексные параметры). В некоторых
случаях комплексные преобразования симметрии можно использовать, чтобы построить действительные решения из известных комплексных, CM. [Herlt (1978)].
Два класса Ф=0 и S=Ar 1 (имеющие одинаковую гауссову кривизну) связаны комплексным преобразованием симметрии
Ф'І=і|І; Ф'2=і?2 (30.40)
(на рис. 30.1 это соответствие обозначено двойной стрелкой.) Исходя из действительного вакуумного решения (I2=Ii), получаем соответствующее комплексное электромагнитное решение (ф2=—ф;), которое можно обратить в действительное с помощью продолжения параметров на комплексную плоскость. Например,
21-99 321
потенциалами Ф и I решения Райснера — Нордстрема (13.21) являются Ф=е/г и |=г(1—8)/(\+8)=т/г. Комплексное преобразование (30.40) и замена іт-+е преобразуют решение Шварцшильда в решение Райснера — Нордстрема с массовым параметром, равным нулю. Существует взаимно однозначное соответствие между стационарными вакуумными полями, имеющими чисто механические источники (массы, вращение), и стационарными полями Эйнштейна — Максвелла, имеющими соответственно чисто электромагнитные источники (заряды, токи). Комплексные преобразования симметрии могут изменять знак выражения т2—е2.
Подкласс решений 8=+1, который определяется следующим выражением (с точностью до преобразований симметрии):
(dp*+^) +р*^* - (dtAd<f)*; (30.41)
Af = PV ,; Ae = -PV р; *f = --f(V*,-V.,);
* * = --HpV ,; Viрр + P-iV р +Vi гг=0;
X = -L; Ф = 2-1/2еІІ,<р-г); V=V,
содержит в себе однородное решение (10.21) при V=21np и решение, упомянутое Мак-Инточем [McIntosh (1978)], при V=—26г. Танабе [Tanabe (1978)] построил поля безмассовых зарядов; эти решения принадлежат классу 8==+1.
Класс Ir=O (см. § 16.7) не может быть преобразован в классы 8=+1 и 8=—1 даже с помощью комплексных преобразований симметрии.
Cm.: [Бицадзе (1977)].
30.4. Генерационные теоремы для полей Эйнштейна — Максвелла, допускающих абелеву группу G2
Формализм построения решений (преобразования симметрии), описанный в предыдущих разделах, требует, чтобы пространство-время допускало неизотропный вектор Киллинга |. Теперь предположим, что существует дополнительный неизотропный вектор Киллинга т|, коммутирующий с §, и что существуют двумерные пространства, ортогональные к групповым орбитам. Благодаря этим предположениям возникают новые принципы построения решений, которые можно сочетать с уже обсуждавшимися преобразованиями симметрии.
