Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
31.2.2. Пространства типа D по Петрову
Канонический вид (см. табл. 4.2) тензора Вейля типа D
С* abcd=2'V 2(VabU ы+UabV cd-f Wrab Wrcd (31.29>
совместим с (31.21), только если выполняется
V2^=V2Kei Uab;'W“»=Vab-.'W°*=0. (31.30)
Уравнение (31.30) означает, что Wjab=Const, откуда следует, что комплексно-
рекуррентное пространство-время типа D обязательно приводимо и является произведением (31.11) двух двумерных пространств.
В силу (31.21) и (31.30) выполняется 2С*а&с<і;[<г/]=0. Вводя (31.29) и выражая производные через тензор кривизны с использованием разложения (3.44) тензора кривизны, получаем:
R
= — 72 : = BWabWcd; (31.31)
4Rab= (?-М?) (lakb-t~kalb)-\-{R—Е) .
Таким образом, Ke=yV2^IxV2 действительно, все комплексно-рекуррентные пространства типа D являются конформно-рекуррентными. Кроме того, из (31.31)
1 2 _ следует, что скалярная кривизна К и К пространств (ш, ш) н (k, I) определяется выражениями
4К(хг, X2) = R — Е; 4/С(х\ Xі) = R + E. (31.32)
Если пространство является рекуррентным и Ke=(InR)te не равно нулю, то тождества Бианки вместе с (31.27) и (31.31) означают, что либо R=E, либо R=—Е, т. е. пространство-время является произведением плоского и двумерного искривленного пространств.
В конформно-симметрических пространствах R является константой (Kn равно нулю), а полная система тождеств Бианки дает ?= const: пространство симметрическое и имеет интервал (10.8):
2сПЛ _ 21ud V
ds ={[+ (R^E)KKm2 [i-(tf + ?)“«/8]2- ( '
31.2.3. Метрики типа N
Вводя каноническую форму
С*аьы=—4VabVci (31.34)
тензора Вейля типа N (см. табл. 4.2) в (31.21), получаем
ka,b=kaPb, (31.35)
т. е. (собственный) изотропный вектор к является рекуррентным. Из (31.35) следует ma-,b=karb-\-tnaSb, и поэтому (31.35) и (31.34) дают (31.21). Если комплексно-рекуррентное пространство-время принадлежит типу N, то оно со-
22—99 337
держит рекуррентный изотропный вектор, и наоборот, если пространство-время типа N содержит рекуррентный изотропный вектор, то оно комплексно-рекуррент-лое; рекуррентный вектор имеет вид:
Кь=Рь-\-гпата-ь. (31.36)
Можно доказать, что метрика комплексно-рекуррентных пространств типа N имеет вид:
ds2=2k-2(\ +???)-2(dt + bda) (df+ bda) — 2da [do + da(tkW + Iv + H));
(31.37)
I = -L (ft c + J ?) - . (I + «Cf) - * (Kb + Kb);
H = W(«, к, K) = H-, b=b(u, K); ? = 0, ±1;
Й2 = I +C1K2 (u).
В частных случаях этой метрики получаем для конформно-рекуррентного пространства интервал (31.20) с H=f(u, x)-\-g(u, у), а для конформно-симметрического пространства также метрику (31.20), но теперь с H*=x2-y2-\-h(*2+i/2), /i=const.
Среди всех этих метрик типа N только рр-волны являются вакуумными решениями (см. § 21.5), которые можно характеризовать свойством комплексной рекуррентности [Ehlers, Kundt (1962)].
31.2.4. Метрики типа О
Исходя из определения (31.24) рекуррентного пространства, легко получаем
R, a—RKa , = SgbReOcd + SaeRebccI = 0. (31.38)
Тензор Вейля равен нулю, откуда следует уравнение
SacScb-----BabScdScd +-LtfSai = O. (31.39)
Вводя в (31.39) канонические формы (см. § 5.1) бесследового тензора Sa* и подставляя результаты в (31.27), видим, что могут иметь место следующие случаи.
Метрики с ненулевым рекуррентным вектором Ka должны быть метриками плоских волн
ds2 = dx2 + dy2 — 2dudv — -j- х,ф2 (и) (х2 + y2)du?\
К„=Л),в/2Ф; Jfeai6=O, Rab=Xo02kakb. (31.40)
Симметрические метрики (ZCa=O) являются либо пространствами постоянной кривизны (см. § 8.5), либо в них существует постоянное временно-подобное или пространственно-подобное векторное поле, ортогональное трехмерному пространству постоянной кривизны
dx? -4- du2 + tdw2 _
ds2 = -;------б------------------TF—tdz*, є= +I, (31.41)
[' + Ir
(X2 + уг + ZWi)
либо они являются произведением двух двумерных пространств постоянной кривизны
¦ а______2dKdK 2dudv
s “ [1+*К]г U+Xw]2
[эта метрика типа метрики Бертотти — Робинсона (10.8)], или же они являются метриками плоских волн (31.40) при (D=const, /Ca=O.
338
31.3. Тензоры Киллинга второго порядка
31.3.1. Основные определения Тензором Киллинга порядка т называется симметрический тензор К. а , удовлетворяющий условию
«т; г, = °- (31-43)
Тензоры Киллинга представляют собой обобщение векторов Киллинга (т=1)-В этой главе ограничимся рассмотрением тензоров Киллинга второго порядка, которые в соответствии с (31.43) подчиняются условию
Kab=Kba', К(аЬ;с)=0- (31.44)
Разлагая тензор Киллинга на его бесследовую часть ь и след К
^Cab=аЬ~\~ёаьК/ 4, (31.45)
легко получаем
4&>аь-,а=—ЗК,Ь (31.46)
и
с~B(Ob^ dC)Id- (31.47)
Симметрический бесследовый тензор S1 аъ называется конформным тензором Кил-ликга, если он удовлетворяет уравнению (31.47). Если, в дополнение к (31.47), У'аЬ:а является градиентом! то тензор /С«ь, построенный в соответствии с (31.45) и (31.46), является тензором Киллинга.
Тривиальными примерами тензора Киллинга являются метрический тензор gab и все произведения
