Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуя метрику (31.9), допускающую постоянное изотропное векторное поле, и используя представление dx3dx*=du2—dv2, аналогичным образом получаем следующую теорему:
Теорема 32.4. Если пространство V4 допускает постоянное изотропное векторное поле, то его класс вложения р<:4.
Так как каждое пространство V2 может быть вложено в E3, то в случае метрик (31.6) и (31.7), для которых существует два постоянных векторных поля, получаем теоремы:
Теорема 32.5. Если пространство V4 допускает два постоянных неизотропных векторных поля, то его класс вложения р^Л.
Теорема 32.6. Если пространство V4 допускает постоянное неизотропное векторное поле и постоянное изотропное векторное поле, ортогональные друг, к другу, то его класс вложения р^2.
Если R (32.17) вектор valv пропорционален градиенту, то метрику можно записать следующим образом:
ds* = ftej,(xVxerfx9 + ^f2(Xi) (dx*)*. (32.18)
По отношению к классу вложения могут иметь место два различных случая. При /,4=0 метрика
ds* = ha9(xv) dx'dx* + efl (Xv) (dx*)1, (32.19)
a, J, v = I, 2, 3
является метрикой пространства-времени, допускающего нормальное поле вектора Кнллинга ?'=(0, 0, 0, ?4).
Вводя [Szekeres (1966а) J
и + \о = feix*; є (du1 + dv‘) = є [df ‘ + f2 (*4)2]. (32.20)
видим, что проблема сведена к нахождению вложения трехмерной метрики h^dx^dx^ — erff2, которое можно осуществить в пространстве не более чем 6 измерений.
Теорема 32.7. Если пространство V4 допускает неизотропное нормальное поле вектора Киллинга, то его класс вложения р^А.
В общем случае },4Ф 0 часть метрики (32.18) /2(cfjc4)2 требует, в соответствии
с теоремой 32.2, не более трех размерностей для вложения, которые добавля-
ются к шести размерностям части h^dxadx^. Следовательно, имеем следующую теорему:
Теорема 32.8. Если пространство V4 допускает нормальное неизотропное векторное поле V, удовлетворяющее (32.16), то его класс вложения рг?5.
Кроме метрик, удовлетворяющих условию (32.16), можно рассматривать метрики, характеризующиеся существованием векторного поля Ba= (х4),и, Для которого
vKb = “з“ (Sab-^vaVb), VaVaE^O; (32.21")
ds2 = }г (Xa) ha j (Xv) dx'dx9 + є (rfx1)2, p, V= I, 2, 3.
Для вложения трехмерного пространства с метрикой Zia^ необходимо не более
чем три дополнительных измерения, и применение теоремы 32.2 тогда приводит к следующей теореме:
Теорема 32.9. Если пространство V4 допускает неизотропное векторное поле V, удовлетворяющее (32.11), то его класс вложения р^5.
347
32.3.3. Группы движений и класс вложения
Если группы движений пространства V4 вызывают существование подпространств низшего класса вложения, например подпространств постоянной кривизны, то следствием существования такой группы будет также низший класс вложения для всего пространства V4. Подробности будут зависеть от порядка г групп Gr (Ar, если группа абелева) и от размерностей их орбит (S — пространственно-подобная, T — временно-подобная, a N — изотропная орбиты). Некоторые результаты [Goenner (1973)1 приведены в табл. 32.1. Мы видим, что в определенной степени высокая симметрия обусловливает низкий класс вложения. Обратное утверждение неверно; известны метрики класса один без какой-либо симметрии.
Таблица 32.1. Верхние пределы класса вложения р для различных метрик, допускающих группы (Tab не определено)
Группа
Орбита Gio о, с G„3 G5 в Ot^Gi G3 А$ Л,
V. Р< 1 р<2 < 4 р< 2
s„ Ti — — — Р< 1 р< з
N, — — р<2 /><3
Si, Tг Плоская: /><3 Неплоская: р<2 — 4
Чтобы дать пример способа рассуждений, рассмотрим произвольный сферн-чески-снмметричный интервал
rfS2 = f,2(r> і) (irf02-j-sin2 9dq>2)4--fas(r, t)dr2—c2(r, t)dt2. (32.22)
Если положить
yx=b cos 0; y2=b sin 9 cos <p, y3=b sin 9 sin q>; (32.23)
(dy')2+(dy2)2-\-(dy3)2=b2(dW+sm2 0 dcp2H-(d*)2
и принять во внимание, что двумерное пространство с метрикой а2(л, t)dr2— —c2(r, t)dt2—I[db(r, OP можно вложить в ?s, то видно, что сферически-симметричные метрики принадлежат классу р^2(р=1) возможно для специального вида функций а, Ь, с [Ikeda е. а. (1963); Karmarkar (1948)].
Если сравнить теоремы, приведенные в этом разделе (и особенно кратко изложенные нли упомянутые методы доказательств), с общей теорией вложения, изложенной в предыдущем разделе, то можно увидеть, что данные разделы разобщены: уравнения Гаусса — Кодацци — Риччи никак не были использованы. Причина этой непоследовательности лежит в уже установленном выше факте, что никакое систематическое изучение этих уравнений не проводилось, исключая метрики класса один или два. Этим метрикам будут посвящены следующие разделы.
32.4. Точные решения в случае класса вложения один
32.4.1. Уравнения Гаусса — Кодацци и возможные типы теизора Оаь
Применение общей теории, схематически изложенной в § 32.2, к классу один показывает, что пространство V4 принадлежит классу один в том н только том случае, если существует симметрический тензор йоь, удовлетворяющий уравне-
348
ниям
»?abcd=e(?2ac?2bel—QadQfje), Є=+1 (32.24)
