Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
i?ebcb=S2acQbd—(32.84)
где
Qab=AUaUb-IrCgab', *оИ=ЗС2; (32.85)
ХоР=2СА—ЗС*.
Уравнение (32.84), которое в точности является уравнением Гаусса для пространства-времени класса один, указывает, что конформно-плоские решения для идеальной жидкости могут принадлежать классу один. Чтобы доказать это предположение, необходимо показать, что уравнения Кодацци ?2аь;с=йвс;ь также удовлетворяются.
Если A=C, т. е. ц=—3р, то тензором кривизны является просто тензор
$obcd=XolA(/lacfrt>d Ar.dAbc)/3; (32.86)
hab=gab~T-UaUe>
а тождества Бианки дают
3иа-ь=9Наь; 3(і,а=2ц,0«о- (32.87)
В силу этих уравнений йоь удовлетворяет уравнениям Кодацци, а это означает, что пространство-время имеет класс вложения один. Более подробно: при 0=0 соответствующим решением является вселенная Эйнштейна (32.41), а при 6^=0 решение есть частный случай обобщенных миров Фридмана (32.46).
358
Если АфС, СфО, то тензор Qob— несингулярный, и в силу теоремы 32.10 уравнения Кодацци удовлетворяются, а пространство-время принадлежит классу один. Результаты суммирует следующая
Теорема 32.15. Все конформно-плоские решения в случае идеальной жидкости (цфо) принадлежат классу вложения один, и, следовательно, пни все содержатся либо в обобщенных внутренних метриках шварцшильдовского типа (32.40К]Либо в обобщенных метриках фридмановского типа (32.46) [Stephani
Все конформно-плоские решения с ц=0 [Barnes (1974)] имеют класс вложения два, так как ц,=0 в (32.27) означает С=0, и пространство-время является плоским.
Конформно-плоские решения с электромагнитными неизотропными полями.
В случае неизотропного поля (5.13), т. е. когда
(!) (2)
TаЬ—Ф2§аЬ Ф 2gab’ (32.88)
(I) (2)
gab = gab + gab = (XaXb + УаУь) ~ (*аЧ ~~ UaUb), (32.89)
тензор кривизны имеет вид:
(I) (I) (I) (I) (2) (2) (2) 12)
Rabcd=*оФ2 (gacgbd gadgbc) (gacgbd gadgbc)- (32.90)
Если, исходя из тетрадного представления Qab н Л„ь, воспользоваться тож-
дествами
(QcpQdq QcgQdp) "Ь
-(-(QanQbm—Q am^bn )/?cdP,J=0; (32.91)
ЁаЬCdJ^obnm (AcpAd4 AcgAdp)
—(- (Aa пЛьтп—AamAfi п) Rcdp д]=0,
(п, т, р, q не все различны), которые следуют из уравнений Гаусса (32.66) н
(32.70), (32.90), и выполнить подходящие калибровочные преобразования
(32.69), то с помощью длинных, но непосредственных вычислений получим
Aa Ь—- GUaUb—j— M (UaZb~\ZaUb) ~J-
-fKza2fi; Qab = ExaXb-\-Fyayb\ (32.92)
e\EF=e2 (GK-H2) =хоФ2.
Из уравнений Кодаццн — Риччи (32.67), (32.68) при этом следует равенство нулю ta и выполнение следующих условий:
(I) (2)
gab; с=0= gab; с’ Ф.с= 0, (32.93)
т. е. тензор кривизны постоянен:
/?abcd;e=0. (32.94)
Рассматриваемое решение является симметрическим, приводимым конформно-плоским пространством-временем. Как показано в § 31.2, единственной метрикой, обладающей этими свойствами, является метрика Бертотти — Робинсона (31.42), т. е.
ds2 = rfx2+cos2(l^ х0 фx)dy2 -f- cos2 (Vх0Ф0^2г — (32.95)
Соответствующее поле Максвелла (определенное только с точностью до дуального вращения) является также постоянным и может быть записано как |
Fab = Ф (UaZb — ZaUb) ',
(32.96)
Ui = —8\, Zi = Sti с Os (V х0 фі).
359
Теорема 32.16. Единственным конформно-плоским решением с неизотропным электромагнитным полем является метрика (32.95), (32.96), которая представляет собой произведение двух двумерных пространств постоянной кривизны. Как тензор кривизны, так и тензор электромагнитного поля являются постоянными тензорами [Kahen, Leroy (1966); Stephani (1967b)].
Конформно-плоские решения с полем чистого излучения или изотропным электромагнитным полем.
В том случае, когда
T аь=Ф2какь, (32.97)
тензор кривизны конформно-плоской метрики имеет вид:
2Rabcd'="A<$ft(kahcgbd-\-f?ackbkd—kakd§bc—§adkbk с). (32.98)
Теперь можно использовать тетрадное представление тензоров Qab и Лоб относительно тетрады ха, у a. Ia, ka и найти проекции уравнений Гаусса на направления, указанные выше. В результате оказывается, что допустимы только следующие структуры:
Qab=^kakb-\-D{tXaXb-\-yayb) Ї 2<?,С0=чоФг; Aab=Fxaxb-\-Gyayb\
etD2+e2FG=0 (32.99)
и
Qab=Ckakb-\-D (kay b~\~kby а) -\-Еу аУ b\ (32.100)
—2егF2=Xifot;
Aab=F(kaxb-\-xakb)-, 2е,(ЕС—D2) =и0ф2.
В обоих случаях уравнения Кодацци дают
*в.„=0, Ф,ь=Ф'*ь; (32.101)
изотропный собственный вектор является постоянным [тот же результат можно получить более просто, если воспользоваться тождествами Бианки для тензора кривизны (32.99) н равенством ka. [b:fj=0].
Уравнение (32.101) яяляется ключевым для нахождения точного решения; В силу (32.101) и (32.97) метрика является метрикой плоской волны с парал-
Таблица 32.3. Метрики, принадлежность которых к классу вложения два известна (некоторые из них принадлежат к классу один)
Tm метрик Метрика Ссылка (по вложению)
Вакуумные, типа D с G4 на V3 Все конформио-плоские поля Эйнштейна—Максвелла Все р/ьволны (вакуумные и невакуумные)+ Вселенная Мелвина (геон) Все метрики, где существует группа Gj в иеплоских S2 или Т2+ (24.20) (32.95), (32.96) (32.103), (32.104) dx2 -j- іуг — 2dudv — — 2Hda2 (20.10) Гл. 13, 14 [Rosen (1965); ColHnson (1968а)] § 32.5.3 [Collinson (1968а)] [ColHoson (1968а)] § 32.2.3
