Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
Случай A=C приводит к вселенной Эйнштейна
dr2
ds* = t _ са>.г + гг(dd2 + sin2 BJif2) —dt2. (32.41)
Решения с ненулевым расширением. При 0^=0 получаем из (32.33)—(32.35) систему уравнений
Зд,^ A ^ = J1; 3dtC = QAui, (32.42)
которая интегрируется с помощью
dtV в
*і»=іфггг; (32-43)
A=u*f(t); 0=0(0; C=C(Z); д,С=—в{13.
Пространственная часть Aijiv метрического тензора зависит от времени; еле-
довательно, нужно вычислить тензор кривизны гиперповерхности /=COnst с помощью
К™=7W - -г ^ (и4)2- (32-44)i
Используя (32.42) и (32.31), получаем из этого представления
K^ = (С2 - T-) (V*v, - AvtxAyo). (32.45)
т. е. гиперповерхности Z=COnst являются пространствами постоянной кривизны, но с метрикой, зависящей от времени. Преобразуя метрику h при / = O к каноническому виду Ajiv = V-2Sliv, находим, что в симу (32.42) этот вид сохраняется во времени, и полностью метрика принимает вид [Stephanl (1967а)];
(ZV N2
щу-) dt2; (32.46),
C2 (Z) — в2 (П/9
v = W + 41/,(7) «х “ x^l2 + [у - +
+ [z — Z0(/)]2}; х0(і= ЗСг(/);
X0P= — x,|i + tICC, 4V/V, 4 = С (2А — ЗС).
Оставшиеся уравнения Гаусса удовлетворяются, метрики (32.46) все принадлежат классу один, где функции x0(t), г/о (О, Z0(Z)1 C(Z), 0(/) и V0(Z) —
35L
произвольные. Этот класс является обобщением космологических моделей Робертсона— Уолкера (см. § 12.2).
Решения в случае пыли этого класса получаются, если положить 2А=ЗС. Это означает U4=—1 и ZdtV=VQ, чем н характеризуются модели Фридмана в случае пыли.
32.4.3. Решения для случая идеальной жидкости типа D класса вложения один
Решения типа D класса один характеризуются условиями (32.28), т. е. йоб=2Си0Ц5-|-С^в5-|-Дуаи^| ДС^Ю|
(32.47)
X0Tа Ь=е2С (Л-f 2С) UaUb-^eC2gа ь;
R*bcd=e(Qac&bi—QadQbc). (32.48)
При А-\-2С=0 уравнения Кодацци (32.25) дают иаЬ=иаРь, оа-ь=иарь. Тождества Риччи Uaib-C-UalCib=UdRdabc вместе с уравнениями Гаусса (32.48) дают C= О, т. е. пространство-время является плоским. Поэтому можно ограничиться обсуждением случая 2С-\-АфО.
Как и в случае конформно-плоских решений, возможны два различных случая, зависящих теперь от того, равняется или нет нулю ускорение йа=иа;Ьиь. Эти два случая будут рассмотрены раздельно.
Решения с нулевым ускорением. После некоторых длинных, но непосредственных вычислений уравнения Кодацци и часть уравнений Гаусса (через тождество Риччи для иа) дают выражения
Ua-b^CllVaVb-\-^(Sab—V aV b+UaUb) J
(32.49)
Va-,b=a>UaVb+PaVbJ pa«°=Pa»°=0;
A,a=[(2C-\-A)at—2Св2]Ма~^~й$Уа-^-Ара, C,a=2COiUa
для производных ua, va, С я А. Выбором удобных координат «<*= (0, 0, 0,-1), ?)(=(0, 0, V, 0) метрика приводится к виду
ds2=Fi(I)Idx2+H2(х, y)dy2]+V2(x, у, г, t)dz2-dt2. (32.50)
Систему уравнений вложения, т. е. (32.49) и уравнения Гаусса, можно полностью проинтегрировать. Оказывается, что х—^-пространство есть пространство постоянной кривизны.
Если это пространство плоское, то возможно только е=1, и получаем метрику [Stephani (1968)]
ds1 = ((dr* + r4f) + УЧгг — dt2;
V (г, f, г, t) = tVFG,(z) + VT I^G2 (г) г cos <p+G3(z) г sin<p +
+±аЛг)г> + 0Лг)] + 0Лг); (32.51)
I 41 VTGi(Z)+ Gi(Z) .
XqP--- 4^2 • xOlx — 3*оР 2Ш'(Г, f, Zt t) '
G2lJrChi=O.
Эта метрика содержит пять произвольных функций Gi(г). Подкласс Gi=G2= =G3=O является метрикой плоской симметрии.
Если х—(/-пространство неплоское, то окончательно получаем [Barnes (1974); Stephani 1968)]
ds2 = F*(t) J j + гЧf j + V2(г, ч, г, I)dz2 — dt*-, (32.52)
352
V = C1(Z) J F-'dt + Gt(z) 4- F [G3 (г) r cosy 4- C4 (г) г sin if 4- C6 (г) V (I 4-гг2];
*оН. = 3xtp + ^G1 (г) J ttF — еЬг J F-1dt ^ — еЬЮг (г)
KqP= eb2F-*\ Fs = z(t2 — ebs); e=i I; b = const; C21 4- G22 ф 0.
Метрики (32.51) и (32.52) заключают в себя все решения типа D класса
один в случае идеальной жидкости без ускорения.
Решения с ускорением. Использование уравнений Кодацци (32.25) для тензора Qot, осуществленное в (32.47), н частичное использование тождеств Риччн дают
Ua ;b —Q і VaUfl—$2^ <х V ь-\-&$ (§ab VaV b~\~UaUb ) , G1 -/—0]
Va \b^^^lUaUb~{-U2UaVг>4~ (2С-^-А) (§ab—VaVb~\~UaUb) ! (32.53)
С,і,=2Са3иб4-(2С4-Л)аіУб;
A ,6==4 (%С-\-А) й2—2Са31 Ub--Ci^v ь.
Выделенное векторное поле V параллельно ускорению й, и оба поля являются нормальными; пространство, ортогональное к ним, оказывается (надо использовать уравнение Гаусса) пространством постоянной кривизны. Таким образом, мы подошли к тому, чтобы ввести систему координат
ds- = F2 (г, t)
PW ]+^(г, t)dz2-U*(z, Ddti;
(32.54)
а,-=(0, 0, 0 — U); Vi = (О, О, I', 0).
Очевидно, эти метрики допускают группу C3 на пространстве V2 (см. гл. 13). Наиболее общая метрика класса один такого вида неизвестна; уравнения Гаусса — Кодацци были решены только для бессдвигового поля скоростей, т. е. при а2=а3. В этом случае оказывается, что O2 и а3 должны равняться нулю; метрика обязательно является статической. Уравнения вложения при этом дают [Kohler, Chao (1965); Stephani (1967а)]
= « -ІС+їр- dr* 4- г2 (j^r 4- ?W) - (К + Ь*)Л2;
