Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
D 2Cujib + Cgab + Avavb 0 Il 1 «г 0 О (32.51), (35.52) Неоднородные космологические модели Да
йаф 0 яаЬ = 0 (32.55) Статическое, сферически-симмет-ричное решение Да
“аІп *аьФ 0 ? ? Нет
Чистое! излучение: фгк^іь N AkaJtb "Ь ка-,ь = 0 (32.61) (32.62) (32.63) (32.64) Плоская волна Эйнштейна—Макс-велла Нет
В (kazb -f- zakb) *«•„ = 0 Плоская волна Эйнштейна — Максвелла Да
® Il Q Il Є Il X Ii о (32.65) Плоская'~:волна, поле Максвелла отсутствует Да
Подробное исследование метрик класса два было выполнено только для вакуумных и конформно-плоских решений. В последующих разделах будет подведен итог полученным результатам.
32.5.2. Вакуумные решения класса вложения два
В дополнение к алгебраическим условиям (32.71) и (32.73), накладываемым на тензор кривизны Rabci И На tc;i, другое простое условие можно вывести в вакуумном случае из уравнений Гаусса — Кодацци — Риччи [Yakupov (1968а, Ь)].
Вычисляя производные 2e |t; Г; {]-и Лг |j. с. либо с помощью уравнений Кодацци — Риччи, либо с помощью тождества Риччи, получаем
2^гЛа [ь ^c; d\ = [bc^d]'>
(32.75)
2e,Q0 = Rea [ьеЛе^]
И после суммирования ПО а, С, учитывая Rnm=0, имеем
Qa a (/с; 6—/б;е) —[ ь (/а;с—/с;а) “йас (/а; 6—/б;а)= Oj
A“B(fCi6—<»;c)+Ae6(<«je—/сів)—Л“с (<«;»—^;а)=0. (32.76)
Умножение этих уравнений на Qcd и A'd соответственно и антнсимметри-зация приводят к
— (Q°a)2(tb;i—/d;6)-j-(/o;c—/с,а) (Q“b?2cd—
—Q^dQ'b)—Q“cQcd (/o,6—/б;о)4-й°сйсб(/о^—/d;o)=0 (32.77)
и к эквивалентному уравнению для Лоб. Используя уравнения Гаусса (32.66) н уравнение
/?а6=^1 (Я'сйаб—^сайсб)4*
-(-^(Л'сЛаб—ЛОсЛсб)=0, (32.78)
окончательно получаем из (32.77) следующую теорему:
Теорема 32.13. Вакуумное пространство-время класса два обязательно удовлетворяет условию
Racbdta,e=0. (32.79)
Исходя из нормальной формы (см. табл. 4.2) тензора кривизны для каждого тнпа по Петрову, можно использовать чисто алгебраические соотношения (32.71), (32.73) и (32.79), чтобы получить дальнейшую информацию об алгебраической структуре тензора кривизны и тензора которая поможет упростить уравнения Гаусса — Кодацци — Риччи.
Проводя исследования в этом направлении, Якупов пришел к следующим результатам (опубликованным без доказательств): а) не существует вакуумных решений класса два типа III по Петрову; б) для всех вакуумных решений класса два t является градиентом, т. е. и Лоь коммутируют [см. (32.68)1-
Если выразить уравнения Гаусса (32.66), используя формализм Ньюмена — Пенроуза, и частично использовать уравнения Кодацци (32.67), то будет получена следующая теорема [Collinson (1966)].
Теорема 32.14. Если алгебраически специальное вакуумное решение принадлежит к классу два, то его кратные изотропные собственные векторы являются нормальными (а также геодезическими и бессдвиговыми); если оно невырожденное (принадлежит к типу 11 или III), то изотропная конгруэнция также имеет нулевое расширение.
Методы и результаты, установленные выше, должны обеспечить все необходимое для нахождения всех вакуумных решений класса два. Полный перечень таких метрик до сих пор не был опубликован. Известно, что следующие вакуум-
357
ные решения принадлежат к классу два [Rosen (1965); Collinson (1968а)]: 1) тип D по Петрову: решения Казнера (11.50) и (11.51); вырожденные статические решения (классы А и В в табл. 16.2), включая решение Шварцшильда (все они допускают группу C4 в пространстве K3); 2) тнп N по Петрову: волны с плоским фронтом с параллельными лучами (см. § 21.5).
32.5.3. Конформно-плоские решения
По определению конформно-плоские метрики всегда можно преобразовать к виду
rfs2=e2c/( X, V. Г, < ^+dy^dz^—dt2]. (32.80)
Характерным свойством для ннх является равенство нулю тензора Вейля Cabcd, что в силу (3.50) эквивалентно следующему:
I R
Rabcd = 2 (Sac^bd ~Т" Racgbd gad^bc ^adgbc) — g (Sacgbd Sadgbc)• (32.81)
Легко видеть из (32.81), что неплоские конформно-плоские вакуумные решения не могут существовать. Даже если известно, что метрика пространства-времени удовлетворяет (32.81), найти явное преобразование этой метрики к внду (32.80) может оказаться довольно трудной задачей.
Как утверждает теорема 31.2, все коиформно-плоскне метрики имеют класс вложения не более чем два. В этом разделе будем использовать технику вложения для определения всех конформно-плоских гравитационных полей, созда-
ваемых идеальной жидкостью нли электромагнитным полем [Stephani (1967b)]. Конформио-плоские поля Эйнштейна — Максвелла также былн найдены другими методами i[Kahen, Leroy (1966); McLenaghan е. а. (1975)J.
Конформно-плоские решения в случае идеальной жидкости. В случае идеальной жидкости, когда
7*о 6= (М'Ч-Р) UaUb-\-pgab, (32.82)
условие (32.81) равенства нулю тензора Вейля принимает вид 6 Rabcd=1 3*0 (И-p) (S ас UbUd-iT
~\-UaUcgbd—gadUbUc—UaUag be) -p
-f-2xo^l(gacgbd—gadgbc)• (32.83)
Сравнивая (32.82) и (32.31), а также (32.27), вндим, что тензор кривизны (32.83) можно записать следующим образом:
