Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
" / о о\
O / O O O
Выясним, что представляет состою детерминант •
На основании (7.4) мы можем написать ~
/ - IS^/ -/?t?i/-/fit/I?*/.
/fit/'
* " <6'7) #*ft- -/4?'.
Эта формула представляет собою смешанное произведение базисных векторов, т.е. в векторной записи будет:
Поэтому мы можем написать ^ ^ /»et
Следовательно, детерминант <? есть квадрат объема параллешшеда, построенного на базисных векторах.
!сортированное представление naimvca-вектора. Итак, мы имеем верхнее представление 2 * радиуса-вектора точки и объект при помощи которого определяется квадрат расстояния между двумя точками. Будем считать ^e'* фундаментальным объектом и введем относительно него ассоциированное представление радиуса-вектора:
з
9
- 67 -
Рассмотрим ортогональные проекции вектора & на оси Ат?К .. Длину этих проекций A?*> (измеренную единицей душны) мы будем обозначать через %к ; очевидно,что элементы объекта Zk. имеют размеренность длины. Из рис. 7.2,проектируя ломаную A?'MP на оси координат, получаем,
воспользовавшись (7.7),
АРз -Z3 sZ^sZfefa^^t^^frb^ghZ3-
Покажем, что объект Scl можно ввести путем равенства
Z(L ~ S Os 2ц. ~ . '(7.13)
Элементы этого объекта, очевидно, имеют размерности площади. В 1 развернутой записи мы получим
откуда мы видим, что действительно
Bi *?ік [HAOC4CtSb]. (7.14)
Кроме того, согласно (7.13) будет
Z1 ^CL [Элим«]. ¦(7.16)
ч Итак, радиус-вектор имеет четыре представления:
I* г?4 - верхние координаты (безразмерные) 2« - низание координаты (размерность площади) ^3TOCjW предстерденид
косоугольные составляющие (размерность длины) *2«Д.?-~ортогональкые проекции (размерность длины)
-68 -
(7.16)
Взаимная или обратная система координат
Воавратвдая к косоугольной системе координат (рис.7.1) /f^?* Очевидно, что мы можем написать следующее векторное равенство:
t^^oc. (7.34)
Будер искать новую систему координат с оазисными векторами : ' , выбранными так, что^ы было
Мы распространим то же самое на любой вектор (направленный , отрезок) <я> ; его четыре представления: Cb^ A^/^s^g^'^;
Ah в • Напомним, что физические представ-
ления не "ассоциированы относительно объекта^?«>с •
¦
Упражнение. Показать, что верхнее представление ^ ^ Фундаментального объекта (составленное из элементов матрицы, обратной матрице Ц^ікІЇ ^ есть
az
Сйе&идно, что размерность 3 есть %щща 9 (в крис-
таллофизике так называемые "обратные сантиметры*?• Таким образом, э новой системе координат объект 2/с рассматривается как совокупность составляющих радиуса-вектора,.измеренных при помощи йовнх "масштабов'1 5 • Отскща мы можем выразить квадрат ра дгуоа-вектора следующим образом:
0 другой стороны. ВЬадтая, получаем »
Этому равенству можно удовлетворить, положив Чю приводит нас к трем системам уравнений:
&лк''С? ЪАа**о з333*/
Оісвда видно, чтс^ % .
ЛЬ»ТОЮу W MOMtCM положить ^
Подставляя это в первое, второе и третье равенство соотеєтствєиро йврвоіі, второй и третьей систем, получим
1 Поэтому
- 70 -
Таким образом "масштабы" вдоль осе2 взаимной системы будут
в3 - ф /Si X ?^/^ifiA?, Sin &,г.
Пользуясь^.29) и (7.34Кдля определения квадрата длины радиуса-вектора, получаем ^ 4
Следовательно, во взаимной системе роль метрического тензора играет объект JJL
?*~SiS~.
Упражнение. Воспользовавшись выражением (7.16) дляф^1, найти углы между осями координат взаимной системы. 4 ^
Решение.^Так как вообще^ * -?^3*C#S &а? • гДе
абсолютны^ величины углов между осями взаимной системы обозначены через , получим следующие выражения для иедиагоналышх
элементов метрического тензора ^-С*~ 5
S u ^jYF1 f** ^їьі *c'n
Сравнивая эти выражения с (7. IS)9 получаем следующие формулы для вычисления углов между осями взаимной системы координат:
/° г C^
/О * _ CU Р/с? - Со* &з/
Ш Vz4~ ^ si,, &,А
р / &г% Cl* &<?з Cbs . (7.37)
Cos ?c'j? GfA &гз
- 71 -
Матрлца J3? предполагается известной, требуется найти матрицу .Jb** и относительную ориентацию систем Ag ifА^ас С этой целью введем матрицы направляюща косинусов осей ' и А 7* & • которые обозначим следующим образом:
и масштабы длин вдоль осей Sk: и 3* соответственно.
Как мы знаем Hg предыдущего, для системы. A 21^ швет следующая зависимость:
~ Bo^ O^cL . (7.40)
Определигл масштабы Зк для системы А*?к • таким образом, чтобы имело место аналогичное равенство
Найдем теперь квадрат длины ' радиуса вектора /JZ)' двумя различными способами, пользуясь равенствами (7.38):
Вычитая эти равенства одно из другого,получгем, что
^S- У3 A 0C . (7.42)
Таким образом» взаимная система координат'определена полностью.
Упражнение. Определить взаимную систему координат совершенно не прибегая к векторным обозначениям, а пользуясь лишь индексными обозначениями.
.Решение. Определим две системы косоугольных координат/|^ с/ /-Ig^ при помощи равенств (см.рис.7.3)
а-/-Хl-?i ZK ; Xі- Х>?^Zk . ; (7.38)
