Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Метрический тензор коиволпчедноїі .системы коордчнат. Проведем картельные к координатним кривым в точке А ; получим
некоторый трехгранник AZ к , вообще говоря, косоугольный.
При перемещении точки А трехгранник AzZк вращается и деформируется. Таким образом, в противоположность косоугольной системе координат, теперь- кагкдая точка А имеет свой трех -гранішк /{St , который поэтому называется локальные треугракником. порождаемым системой криволинейных координат
(jrj- . Кас интересует метрика в сколь угодно малой окрестности точки А ,т.е. способ измерения длин бесконечно ма~ пых отрезков, имеющих начало в точке А . Этот способ на-
зывается метрикой систему кщволтіейіщх координат.
77
Рио# 8Л
- 78 -
Возьмем точіог P (рис.8.1)9 бесконечно близкую к A9 и обозначим расстояние через . Соответствую-
щие дифференциалы декарговых координат обозначим через cf^c*. Из (8.1) мы получаем ^-,.
Здесь индекс А у производных означает, что после дифференцирования нужно подставить Ф к ¦ Отсвда имеем '
(/SWx^iJ&?ictfjfo* (8.5)
где положено
/^!A^*' (8.6)
определяет метрику системы криволинейнш координат подобно тоцу,как это было в предыдущем параграфе в косоугольных координатах.Однако следует отметить.что теперь объект
локален, т.е. зависит от координат точки А , а не постоянен во всем пространстве, как было в случае косоугольных координат. Метрика криволинейных координат локальна и относится только к окрестности начала локального координатного трехгранника.
. Метрику системы координат не следует смешивать с метрикой пространства. которая в нашем случае остается евклидовой.
Определим "масштабы" вдоль осей локального трехгранника. О этой целью рассмотрим координатную кривую • Для нее
Пусть элемент длины этой координатной кривой, измеренный единицей длины, будет OfSf . Тогда, очевидно,
-*79 -
Tb же самое верно и для остальных координатних кривых, поэтому вообще можно написать
C/ZA* ffi ty*. (8.7)
Из (8.7) видно, что "масштабы" для измерения длин бесконечно малых отрезков вдоль осей локального трехгранника будут
Мы вида/, что "масштабы" локальны, т.6« при перемещении точки
А "масштабы" меняются. Беря слово"масштаб" в кавычки, мы хотим подчеркнуть, что теперь они не обязательно имеют размерность длины, их размерность связана с размерностью криволинейных, координат. "!Дасштабы" ?fr в литературе часто называют Арестантами Ляіуіє. Забегая несколько вперед, объект %і*<~ назовем метрическим тензором системы крив ,;::інейннх координат. То, что он действительно является тензором, будет показано , дальше.
Элемент объекта в криволинейных координатах. Найдем формулу для вычисления элемента объекта в криволинейных координатах. Это - объект элементарного параллелепипеда.достроенного на косоугольных составляющих вектора л с/г по осям локального трехгранника.
Спроектируем эти составляющие на оси Оэс с и обозначим проекцию , CL - й составляющей на с - ю ось
через с/Xta" . Так как каждая из этих составляющих получается путем движения в^оль одной из кос»динатных кривых,вследствие чего изменяется только одна из криволинейных координат,мы можем написать, как и вше ,.
сі ос a уОд. .
Пусть косоугольные составляющие вектора AJ) vo > осям локального трехгранника будут о/2 е . Эти соствш/яклив направлены по касательным к координатным кривым» Так как элемент дуги и элемент касательной равны друг другу, то мы можем написать
- 80 -
то окончательно имеем
(8.9)
Наїгоавляшие косинусы лояльных осей. При помощи закона преобразования (8.1) и,используя объект ^?«*- , можно найти направляющие косинусы о^/с осей локального трехгранника. Для всякого косоугольного трехгранника мы имеем
откуда
(8.10)
После этого мы можем определить углы между осями трехгранника и по формулам (7.16) полностью найти объект ? который теперь, однако, также является локальным, т.е. зависит от координат точки А .
Длина и норма ве^тооа. Пусть имеем какой-нибудь конечный вектор CL , определенный з точке А ;
это означает, что этот вектор зависит от координат уточки А . Примером такого вектора может служить скорость 1С точки
А . Для нее из (8.5), разделив на с(/6с** 9 получаем
При помощи этой формулы стороны элементарного параллелепипеда заданы своими составляющими Л ас
по осям декартовой системы координат. Поэтому, применяя правила алгебры ортогональных тенэоров, мы можем сказать, что объем
с(\Г параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен их смешанному произведению, т.е.
а так как
- 81 -
4,
t
т.е. считая производные координат по времени верхние представлением скорости точки, получим
UW *?с* гс'г/*. (8.II)
Пусть верхнее представление какого угодно конечного вектора есть <2/ , распространим на него формулу (8.5) для квадрата длины дифференциала радиуса-вектора или (8.II) для квадрата скорости и назовем квадратом длины или иокдой вектора
cu выражение
