Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
/г)
Обозначив квадрат длины вектора^ через CU ' , можем на-
писать
a.(a)*gc* а,?а,*. (8.i2)
Если т теперь введем ассоциированное- представление вектора CL путем равенств
&i*4?*a? , <Ь*?**а.к% (8.13)
то квадрат длины вектора можем записать в следующих видах:
а,1*}~<р*си'а.% сиаг *р**а.(8.14)
Таким образом, объект gt/c играет У нас двойную роль: во-первых, он определяет метрику системы координат в окрестности заданное точки А ; во-вторых, он является фундаментальным
объектом, т.е. используется ддя построения ассоциированных представлений.
Упражнение. Найти метрический тензор в сферических координатах, воспользовавшись для этого известным из кинематики выражением для квадрата скорости точки А
Введя обозначение
Решение. Как только что было указано» мы можем написать
Для сферических координат *> ^ IH (8.1) имеет вид
преобразование
Квадрат скорости будет
15)
Положив
мы видим, что метрический тензор будет
4
о о
о о
(*)
(8.16)
Таким образом,
uf-fP^y Sj^'i/u?^ (8.17)
т.е. первый "масштаб" - безразмерный, остальные^имеют раэмерноот длины.
Упражнение. Нари все четыре представления скорости точки в сферических координатах. Решение.
- 83 -
Mu имеем
2L^ U3
Диаиг-іскпа ппетгптймания.
Упражнение. Показать, что верхнее представлегае/фундамэнтаиь вого объекта в сферических координатах будет
/ О О
$1к s
О О
Упражнение. Найти выражение для елемента объекта в сферические координатах.
Решение. Из (8.16) мы сразу получаем
Повтому, опуская для простоты скобки у показателя отепени, можем Записать
Координатные представления. Из (вЛ4) следует,.что верхние (контравариантные) координаты скорости - просто обобщенные скорости, т.е. производные от криволинейных координат по времени. Отоцца по (7.14) получаем и нидние (ковариантные) координаты.
- 84 -
Рис. 8.2
Определение угла между двумя векторами Cl- и Дня этого введем третий вектор
Квадрат дайны этого вектора мы можем определить, г одной стороны, из треугольника ASC»
а, с другой стороны,по формуле (8.14):
- 85 -
Сравнивая эти два выражения, полупаем &л? С*& или
Скалярное произведение. Перепишем равенства (8•IS) в следующем виде:
PvaS&^ffrafS^ykJi'a'fcaif* <s.e»
Величина как известно, есть скалярное произведение
векторов. Поэтому формулы (8.IS) определяют скалярное произведение векторов в криволинейных координатах.
Условие.ортогональности. Очевидно, orio :.:Слсет быть записано . в любом из видов:
• г
Цгіг.тор'іос .умнрдекне. Результат векторного умножения двух векторов Q,* и определил следующим образом:
S'* ?^e&A: ?<? ~ /=Г & (8.21)
где $с и Sc - два представления векторного произведения, В порядке упражнения читателям предлагается*доказать, что эти представления ассоциированы относительно метрического тензора
Покаже:.;, что определенна таким образом вектор не отличается от
обычно, получаемого в векторно": алгебре. ?дя этого достаточно показать, что
І) 1 CiL . g:J g (8.22)
18)
ft
где - угол между векторами CtS и S'
Проверим выполнение условия ортогональности.
Имеем
Совершенно так же докажем, что б С Sc * О.
Вычислим квадрат длины вектора S .Имеем
'(^^i^)^^^^^^ (Mio г)*
Отсюда, удерживая знак +, установим положительное направление вектс а , &° относительно плоскости, определяемой векторами fr' и * S*
Смешанное произведение трех векторов. Рассмотрим скалярное произведение вектора CC * на векторное произведение двух векторов и & Є . Обозначив это смешанное произве-
дение через /J , можем написать
ШШШЧ>,- Показать, что
CL^CU ClCD CLL С*
Cb &к В
(8.23)
(8.24)
и вычислить при комощи этой формулы детерминант матрицы метрического тензора.
- 87 -
Решение.
dp dp dt.
Ог- ?Ceо.''#р с\
Умножить детерминант, например, на О* - значит умножить на
й/ один из столбцов детерминанта, например, первый. Проделав подобным же образом умножение на и Сг\
мы получим
он F сг
a,' F се
CLc ?* Ce .
После аналогичной операции получаем
QueuJ л>± 6*" CLtC,''
весь* СеСЄ.
А(&)
Введем в рассмотрение углы между векторами:
тогда:
CL
С*)
ас Ca ft*
с*/
Пусть теперь в качестве вектора CLc $с Ci зисные векторы косоугольное схстегда, тогда
мы берем ба-
- Oik: ,
33
и мы получаем
откуда
ffiCaOkt
Рассматривая только правые системы координат, удерживаем перед корнем знак + ; окончательно имеем
Таким образом, \[д* представляет собою объем параллелепипеда, построенного на оазисных векторах косоугольной системы координат. Если, в частности, система координат ортонормированная, то = I.
§ 9 • Тензош в косоугольных и криволинейное коогшпнатах
Преобразование координат. Для удобства сравнения будем рассматривать параллельно косоугольные и криволинейные системы координат.
ПуСТЬ ИМееМ ДВЄ ЮИСТеМЫ косоугольктэс КООрДИНаТ 2<г K-ZZ
и две системы криволинейных координат ^> и . Системы без
черточек будем именовать отарыутг. с черточками - і"вттуи.
Преобразования старых и новых координат в ода: и тз і:е декартовы координаты имеют' вид: ,
