Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 26

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

8гоя скаляром".
• Тензор ^ ^ . Из -элементов метрического тензора по фавилзм построения обратной матрицы можно получить новый объект,
который мы в предыдущих параграфах обозначили через д .
скажем, что объекта ' есть дважды контравариантпы^
їсіиншьі тензор. v
їїобн построить* матрицу, обратную //$ Pf-ft » йять ^лгебрагческио дополнения зле7Єнтов J? /°f- к'рчи-лл*?! й детерминант 0 . По «формуле для алгебраических долол -
*ішй имеем ^
Сражен&е в скобках есть, очевпдю, дважды колтравлризнтіпь псекцд-18HSo^ веса +2, а в знаменателе стоит псевдоскаляр +2. Поэтов. g ^Р' есть истинныu тензор.
Скалярно е умножение.В предыдущем параграф» мы определили скаляр-йроизведение как свертку обобщенного произведения двух векторов, *3Ясую в смысла Эйнштейна, например,,
Так как свертка в смысле Эйнитейна есть тензорная операция, то скалярное умножение также есть тензорная операция. Скалярное произведение двух истинных векторов есть истинный скаляр.
Векторное умнржеике. Векторное умножение определено следующим образом: , ^
S** ;
Мы видим, что в правой части стоят обобщенные произведения тензоров со сверткеЛ по Эйнштейну. Следовательно, векторное умножение есть тензорная операция.
Смешанное умножение урех векторов. По определению имеем
Здесь в правой части стоят обобщенные произведения четырех тензоров со сверткой по Эйнштейну. Следовательно, смешанное умножение трех векторов есть тензорная операция, а смешанное произведение - истинный скаляр.
Упражнение. Показать, что если бы векторное умножение было оп-ределєно следующим образом:
е
то в результате получились бы не истинные тензоры, а псевдотензоры, т.е. определенное таким образом векторное умножение не являлось бы тензорной дперацией.
Обратный тензорний признак. Приведем без пояснений формулировку этого признака.
Если в выражении ^ ^,.. ^ л p...S _ ?. „ л.
О ? ... *s есть произвольный псевдотензор веса & J& раз контравариантный и раз ковариантный, а
Cf' '/^ есть псевдотензор веса G , ^ раз
контравариантный и ? раз ковариантный, то
оЯ'% ^ есть псевдотензор веса A e С- S , °*=рГ+/Ґ
*...*>/>... ^ контр*авариантный и ? А? раз
ковариантный.
- 99 -
(9-. 14)
с» —
§ 10. Паралельній перенос
В предыдущих главах мы ввели ряд алг'еора:!ческт'х операций, производимых над тензорами, задаин^/и в косоугольных и криволинейных координатах, причем в результате этих операций также получились тензоры. Теперь мы будем разыскивать такие гхУ,ерені:ка,:ьние операции, в результате которых из тензоров получились бы таї-ге тензоры.
Оказывается, что обыкновенное дифференцирование тензора не приводит к новому тензору, в результате получается объект нетензорной природи.
ііусть, например, в каждой точке пространства задан геометрический вектор-(т.е. отрезок определенного направления) при помощи своего контраваріантного представления Qf* . Ото означает (рис.10.1),что ъ каждой точке пространства задан локальный трехгранник /\ g>° , тогда (с/ есть совокупность координат конца ьектора в этом локальном трехграннике.
Если система координат косоугольна, то все локальные трехгранники параллельны друг гругу, в случае криволинейной системы локаль-ные трехгранники при переходе из точки в точку поворачиваются и де-формируются.
Пели мы переходим от криволинейных координат к новым
криволинейным координатам ^с , то локальный трехгранник перейдет в новый лоїсальннй трехгранник // р с.
При этом заданный вектор преобразуется следующим образом :
Г
Будем теперь перемещать точку по некоторой кривой
В>С. Если мы имеем дело с косоугольной системой координат, то в силзг того, что локальные трехгранники переносятся параллельно, все постояшш и мы И.МЄем
При хорошей зрительной памяти обратный тензорный признак удобно запомнить в видо следующей таблички :
- 100 -
Рис. 10.I
- 101 -
(ЮЛ)
По этому же закону преобразуются и Еокторн, следовательно,
~ & * (10.2)
%
ш
Поставим вопрос: каким сбразом, не зная составляющих a можно Установить, что вектор переносится параллельно? Элементы его контра-Вариантного представления при этом не остаются постоянными,но їїллмно существовать какое-то правило, по которому моглю было бы узіп^і, что Происходит тленно параллельный перенос вектора. Найдем ото прчьяло.
Отсюда следует, что в косоуі'ольнкх координатах производная вектора до времени есть вектор, а дайоренцирование по времени - тензорная, операция.
Пусть рассматривается криволинейная система координат. Тогда вое Cp будут зависеть от времени и мы получим
откуда следует, что
• jo
Следовательно, объект CL в криволинейных координатах не
является тензором, а дифференцирование по времени не есть тензорная операция.
Однако отзывается, что существуют дифференциальные операции» Являющиеся тензорныгли. Чтобк обнаружить такие операции, юьГнеоО-ходпмо рассмотреть га^ллельт:іт{ пегзенос. гектора.
Пзр?ллельтт.': печеное. Пусть точка А ( качало век-
тора) перемещается вдоль ксмотороЛ кривой S(Z 9 а вектор при этом остается постоянны*.; по длине и параллельным своему первоначальному направлению.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed