Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
- 89 ~
Эти преобразования для косоугольных координат линейны, для криволинейных координат нелинейны. Однако дафференцдалы криволинейных координат преобразуются в дифференциалы декартовых координат по линейному закону, это дает аналогию
Для удобства сравнения матрицы преобразования обозначены одина-ково; однако, как выяснено в. щ>едыдущем параграфе ,тут имеемся существенная раэнлца: для косоугольных координат матрицы преобразования постоянны во всем пространстве, в то время как в_криво-доходных координатах мы имеем
т.е. матрицы локальны (зависят от координат).
і
s *
для косоугольных координат ДЛЯ КРЯЩУГгейННХ ГСОТДНШХ
-ЭО-
На основании (9.2) можем написать
?l^-?W?'. (* a;
ати формулы дают зависимость между старыми и новыми координатами для косоугольных систем и дифференциалами старых и новых координат для криволинейных систем.
Отметим, что преобразования (9.3) лсожно рассматривать с различных точек зрения. Во-первых, можно считать.что координаты ?р и а?* ,а также ? * и <?с' относятся
к одной и той же точке в двух различных системах координат, в Ътом случае говорят, что (9.3) определяет преобразование^уюрдд-нат. Еэ-вторых, можно^считать, что координаты ? * и j? * г а также и <?с определяют различные точки в одной и
той жз системе координат, тогда преобразование называется точечным. На п; ^тяжений всего курса ^ы будем пользоваться только преобразованиями координат, а поточечными.
Введем матрицу
, обратную JSi
так что
Умножив
(9.3) на
мы получим
или
или
- 91 -
&?p * Cf (9.4)
и матрицу ^ Г t обратную С^ t так что
мы можем написать прямое и обратное преобразование в виде:
г'-Гіг' ^V'V/',
причем матрицы и JTc для косоугольных координат неиз-
менны во всем пространстве, а для криволинейных локальны. Таким образом, полученный нами закон преобразования линеен и однороден.
Коваркантнне и контоавариантные векторы. Пусть мы имеем верх ний объект первого порядка CL , который преобразуется по закону, аналогичному (9.6), т.е.
QL О" •
Всякий объект первого порядка, преобразующийся по закону (9.7), мы назовем контраваоиантннм вектором (системы, которыми мы также будем пользоваться, вектор в контравариантном представлении тензор первого порядка, тензор первого порядка в контравариантном представлении).
Отметим, что в криволинейных координатах только диаьепенниалі координат о/<^ . образуют вектор, сами криволинейные координаты
не образуют вектора, так как для них имеет место следую- -щий нелинейный закон преобразования:
Покажем теперь, что существуют объекты первого порядка, закон преобразования которых также линеен и однороден, но отличается от только что полученного закона преобразования (9.6).
Введя обозначение
- 92 -
Но вектор cfg9 * совершенно произволен, поэтому объект в скобках должен быть равен нулю и мы имеем
Объект У , где извзстно, есть градиент скалярной функции
<f мы ввдим, что его пряюй и обратный законы преобразс-і
вания будут
Rf . et, 2? •
Г -Эр*
Введя для градиента, выраженного в старше и новых координатах, обозначения
мы получим закон преобразования этого объекта в виде
Этот закон отличается от закона преобразования коктравариантного вектора. Чтобы отличить такие объекты от контравариантных векторов, назовем их ковашантными вектокамц или векторами в коварнактном представлении и будем обозначать их при помощи главной буквы с
Для этого возьмем скалярную (инвариантную) функцию,определяе^ю равенством
Найдем полный дифференциал этой скалярной функции, воспользовавшись и старыми, и новыми координатами. Мы получим
а так как из (9.5) следует равенство /V, то
- 93 -
CL^ ^ сЪ ' О*-ff О,
CL Ч ft. Cfl ^
Смешанные преобразования CL%e ' Crf$f?<Lf*.
Ol^ -ffC?Cl Sie
Любой объект, преобразующийся по одному из этих законов, называется тензором или истинным тензором соответствующего порядка и строения. —
Викно отметить, что тензорный законы преобразования линейны и однородны. Поэтому, если тензор равен тождественно нулю в какой-
ддкним индексом. Итак, ковариантный вектор &р преобразуется по закону, одинаковому с законом преобразования градиента скалярной функции _
CLC - J?&f . (9в8)
Мы по-прежнему будем считать, что верхние и нижние индексы, приписанные одной и той же главной букве, будут означать два различных представления одного и того же объекта. Например, Cc^ г CL** означают ковариантноз и контравариантное представление одного и того же вектора.
Тензоры. Яри. помощи ко-и контраваріантних векторов, используя обобщенные произведения и вводя в,рассмотрение объекты, закон преобразования которых совпадает с законом преобразования обобщенных произведешь!, мы получим три типа преобразований:
Аонтраварнантние преобразования Ковариантнне преобразования
CL- OL.
- 9*4 -
ябудь одной системе координат, то он равен тождественно нулю и во всякой другой системе координат.
Доя дальнейшего важно установить, что симметрия двавды ко-вариантного тензора есть свойство инвариантное, т.е. если имеет место равенство
