Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
- 131 -
Для получения тождества Ляме .образуем тензор второго порядка
S^fE^E"» (12.10)
причем как всегда
Умножим тензор P на и г?-тп. Fhsyjs* Получим
Поэтому окончательно будет
'tS-wn^urUS ^ . (12.11)
Отсюда видно, что для равенства нулю всех элементов тензора Римана-Кристоффеля .необходимо и достаточно, чтобы тензорну** был равен нулю. Но тензор gi*us f как «нетрудно видеть, симметричен. Действительно, ми имеем
Таким образом, имеется только шесть независимых элементов тензора (12.10), остальные 5 элементов выражаются через эти шесть при помощи (12.II). Поэтому тождественное равенство нулю тензора
Qiszfxfc дает всего шесть независимых тождеств, это й есть той дества Ляме. Тождества Ляме имеют вид v >
/J -V (12.12)
или выражение'через тензор Римана-Кристоффеля
Є ^1* Є"'**а О. (12.13)
- 132 -
Вычислим, для примерз, элемент (S"'
. Мы имеем
9
\
гзгз,
Остальные элемс; ы тензора ,3 рекомендуется вычислить з
порядке упражнения. В результате получится
?------ j ?
J-& газ ^&зш J ?з*лг
rf я&аз а о1 Utaf2.
S- <Г <г
и, следовательно, тоэдестваЛамз приобретут вид
гзгз * О;
P -
- О
=? О «
гз/г
~ О ; ?з/?г - О .
(12.14)
(12.15)
iio всех случаях, когда тождества Ляме выполняются, тензор Римана-" Кристо'їн-еля тождественно равен нулю и ковзриантное ди>/еренцгфоваі;ие перестановочно.
Тонзол Ричт-уи. Тензором Риччи называется тензор второго порядка
& ко* Q1IAi
Подштмая 'значок <р.
^2/°^ • (12.IG)
можем представить тензор Риччи в
таком виде:
к/> - ^-ijc/o- - ' (12.17)
'Іензор Гич чи симметричен. Действительно, пользуясь свойствами симметрии тензора Ршлана-Крпстополя, мы получим:
=J?C%V? -g^^ppcK - ?s>«.
ииразим тензор
через тензор Риччи. Пользуясь (12.11),
ш можем написать
'Pf
- 133 -
Заменив здесь тензор ?z*-d*z ассоциированным тензором ? 2^* по формуле
получим
Но по известной форглуле тензорной алгебры
- -(Zis}- SJ г;).
Иоэтому
/Q*f =( f)$9-ъ?*t$*" (12.18)
Введя в рассмотрение скаляр
(І2Л9)
и воспользовавшись симметрией" тензора tf&uS и его ассоциированным представлением
можем написать
R-w » ~§*pS . (12.20)
Введем в рассмотрение скаляр
/Є * * ^лг/э . (12.21)
- 134 -
Тогда из (12.20), умножив это равенство на ^ *Р , мы получиив
1
и поэтому
Теперь из (12.20) окончательно получим
S*CK * А* *?}ік ??0. (12.22)
Таким образом, тождества Ллме при помощи тензора Риччи могут быть записана в таком виде':
г
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I.
§ I. Индексные обозначения ................................... 4
§ 2. Векторйая алгебра в индексных обозначениях ............. 14
§ 3, Ортогональные тензоры.................................. 24
§ 4. Ортогональные тензоры в механике и физике .............. 35
§ 5. Главные оси симметричного тензора второго порядка ...... 44
Глава U. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом
пространстве.................................50
§ 6- Объекты различного строения .............с............ 50
$ 7. Метрика в косоугольных координатах. Взаимные системы.
Фундаментальный объект................................. 61
"§ 8. Метрика в криволинейных координатах....................75
§ 9. Тензоры в косоугольных и криволинейных координатах.....88
§ 10.Параллельный перенос...................................99
§ II.Kbвариантное дифференцирование.........................III
§ І2.Тензор Римана-Кристоффеля. Тоадества Ляме ..............123
Коренев Георгий Васильевич
тензорное шшсщт
Редактор И.А.Волкова СВгТем.пл. 1990 A 463
ОДдп&сане в печать 3^12,90^ Форт: 60х90х^Ш. Бумага писчая Я I* Печать офсетная, Усл.печ.л. 8,3. Уъ-лзд*д; в. їираж 1500 акз, Воказ Jt Цена 80 к,,.
„¦1,1,1IHiI^i»......т< .¦¦.......¦.¦i» ¦«Mn і... « і ......икчщ,..! і м 1..,1,, и,,,, ...... «. ¦ її........... і ¦¦ -Ц"ч шШЪ* пінії —"w ц iilii
Московский ордена Трудового Красш»ЧШШ4ени' физ ико~тв:шический - тогжт
Й^боратория обработки учШоШШшшшш^Щфргтхт
Ш7Ш% Моск.обл.^ г9&^ящшж ]ШЩ№тсШ пер., 9
