Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Вычисление детерминантов. Детерминанты могут быть построены
*
из нижних; верхних и смешанных ыатр*щ. Приводимые ниже формулы легі проверяются при помощи того же приема, который был использован во і ром параграфе; поэто^ проверку предлагается произвести студентам в качестве упражнения.
Нижняя матрица:. л f .
Верхняя jaттзрца: л пло7
?ые а* *€ь ~ а^Т; а>
€п%.<& off-а*- « Qjt**/
Смешанная матрица:
?и? <z% CL^ « асррг. ,• а. = '/&р/, Єя*а? Cl^ а{ « л Є***
(6.5)
(6.6)
(6.7)
55
ддіа^рріїческие исполнения. Умножим первое равенство (6.5) на gnr. Так как , то мы можем написать
можем написав
Види, вбо8начеше ^
•Дяда для' детерминанта <2L = /(2 с/о/ получим следующее выражение ;
Элементы объекта /К* называются алгебраическими дополнениями элементов детерминанта с2. ~ . Если (6.3) положит.! ??~г~сг s
то получим ^
. . A * . (ело)
Это - разложенгте детерминанта по элементам 6L- - TO1 столбца. Чтобы полупить разложение* по элементам строки, умно*одм второе равенство (6.5) на в Получим
Вводя обозначение
« . (6.11)
Если здесь положить т * сь f т0 ж vi получим раз ложе ни о д» термийанта по элементам ^ - й строки:
^=^^%^/!^^?^ , (6.K) Г ЙШШШіио. Найти разложение-детерминанта /й^о/ по элеме^ ,< столбцов и строк. /
' ЕШВШШ- Умножаем первое равенство (6.7) на S Получаем v^
• . * ай?; * a!i Ае > > (6.13) .
ГДЄ ІТОЛОЖенО , и ^ • аг
Ae^i ^п clp (6Л4)
Полагая здесь "6 ^ а, , получаем разложение детерминанта по элементам CL- го столбца. ,
Умножаем в'тороо равенство (6,7) на t>*'<vw . Получаем
<2<Г/* q-i AZ\ (6.15)
ГДв И0Л0ЖЄНО ^ г^ -с
По Am С** Сект Cl^ О-?,. . (6Л6)
«гая .здесь ?*> т*> а. , получаем разложение детерминанта по ««ментам а. - * строки.
- 56 -
«
Упражнение. Кг (іти разложение детерминанта f^^f по элементам столбцов и строк.
Рещение. Умножаем первое равенство (6.6) на ^/y.z* .Получаем
a$Z* ol^au, * (ел?)
где положено л -л
- і C^ ¦Srг* О- *0. . (6.18)
Полагая здесь Z =» і e CL 9 по луча ел. разложение детерглинанта по элементам CL - го столбца.
Умножаем второе равенство (Є.6) на ?слг"> • Получаем •
CL&1? « аЄьА*>і, ' (6.19)
где потожёно s> z> л
_ ~ ? Сект Срръ a.c*cL** « (6.20)
Полагая здесь /п ^CL , получаем разложение детерминанта по элементам й строки.' ' -
^ундпмонтэлътг'; объект. Условимся, что если MiJ обозначаем при помощи одной и TOz же главной буквы два объекта, имеющие одич и тот же порядок и одно и то же число измерений, но неодинаковое строї ниє, то эти объекты являются различными представлениями одного и того же уеометрического или физического объекта; например, записи (Li* / & * / являются раз ли чнгми представлениями одного и того же объекта. Между этими представлениям: должна существовать некоторая зависимость. .
ш условимся, что эта зависимость линейна, однородна и осуществляется при помощи н akqto рог о ооъекта второго- порядка, обозначаемой через с< \ объект^? *Ve называется и\ундаь]оцтал]ьннм объектом. Предполагается , что йундедмент'дльнчй объект симметричен, т.е.что
Зависимость между двумя различимей представлениями объектов первого порядка определим следующие" образом:
?<y> afi* at': -X6.2I)
В силу симметрии фундаментального объекта это равенство можно записать и в таком виде
$pi CL*~ CLt . (6.22)
Зависимость между тремя различными представлениями объектов второго порядка буцет следующая: ^ м
дер or* » а/; ?*рфсь« ; °~ * A* • (6-23>
а в силу симметрии Фундаментального объекта эти равенства можно записать и в следующем виде : ' щ
fc0®№ «е- образом можно написати зависимости между различными дадшяа»йениями объектов любого порядка.
^ Определенные таким способом различные представления называются ^ртРОва^пк!ЛИ_от.носхтТелы:о п^ндамертадького ооЧо^а QcK -. Ш всегда будем предполагать, что детерминант маадйГфувда-. " ментального объекта не равен нулю; этот детерминант Сщ^щ обозначать через Q * / Qixf . Итак, всегда
В этом случае система (6.21) разрешима относительно ф Обозначив штрицу, обратную Ц QSfc// ; через ^ , так что
$U3s* "Si. ^(6.26>
Ми, очевидно, можем написать
g** CLi " (6.27)
Нетрудно сделать то же саше и для объектов любого порядаа
Грешит* система (6 23) относительное-фъ . ; Умножим равенства (6.23). ка^ с? &
соответственлэ. Получим ^ ^ • р.
J ' <? -ч ti тт 1-і а ьтп okiiOMV й/ндаьанталь-
ИЗ ПМЯОЛЄНН1ІХ ЕШО СОО"НОШЄНИЛ ВИДНО, 4TO.CJ4(W0r ^0"W
нову объекту следует приписать два представления: нижнее и верхнее <2 ^ , моменты котогих обрааует обратные матрицы, Гак к*к кюшее представленье фундаментального объекта оиммчтрично, то и верхнее такж* симметрично. , „Tv
Додяучзнгч я опус^кто иміскоор. ійльруясь равенствами (6.^ - <6.28)>да «яеи сказать вообще, что умножение ил^г* с^свеР™0'; по одному as вдексов опускает индекс, а умножение на ^ со оворі-*>й по ода^у м' индексов подними индекс (в обоих случаях свертка понимается в сшеле'Элнштолна. т.е. по одному верхнему-* одному нижнему' индексу). При поднимании и опускати индексов получаются асеовиированние объекта.
