Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
г1тобы проверить это, умножим первое равенство (6.27) на *
Пользуясь равенствами = мы получим
откуда и следует наше утверждение. ' .
Частзді,,случает когда S ~ .К заключение рассмотри
случай, кегда в качестве фундаментального объекта выбран символ Кронекера <5сдс ' • Тогда для определения ассоциированного* пре#
- 61 -
с1авдвния. например, объекта первого порядка служит равенство
'положи» здесь последовательно с « 1,2,3, получим, что в правой .части отличные от нуля члены получаются только при К ~ 1,2,3, соответственно, откуда следует, что
а / ~ &> , ?a - а/ / ал= Cl.
юпі в-сокращенной.записи *
ClZ- CL .
Следовательно, ь рассматриваемом частном случае ассоциирован-ныв представления совпадаю^; поэтому нет необходимости различать
ВврІШЄ'Л.І?ИлИг-ЇО ИНДеКСЫ.
Тзюш образом, все, изложение з в первых четырех параграфах ,может рассматриваться, как частный случай результатов настоящего параграфа
•В следующем «чфаграфе будет показано, что фундаментальные объект goc может бь':*о, в частности, выбран таким образом, чтобы при его . помощи определ-ілсісь метрика, т.е. способ вычисления расстояния между двумя !.очками по их координатам. Затем будет показано, что фундаментальний л бъект, определяющий метрику, является тензором; в этом-случае его будем называть метрическим тензором.
J 7. Масюка в аосо.уголыта коордгнатах, Всаимные рисуемы-
фундаментальны?! объект
Условимся, Mio в настоящем и дальнейших параграфах мы будем считать аобокупность координат точки объектом верхнего строения, т.е„ Для іаординат будем применять индексы сверху, например, Эс*у j& \ Во избежание* недоразумений условимся показатель степени брать в" скобки; например, cl а) есть просто квадрат числа cl
- 62 -
l?f*f ДгЧг S3*/
(7.3)
или с , _
Пусть ОOC^^ будет ортонормироВанная система-координат 4 (рис.7.1), а косоугольная система координат с началом в
точке /f , координаты которой обозначим Xі . Пусть для измерения длин вдоль осей А&К установлены некоторое масштабы; условимся, что совокупность масштабов представляет собою объект нижнегд строения и обозначим его через o*c . Возьмем какую-нибудь точку
P ; ее координаты в системе '^^обозна^им через ^ с . Разложим вектор X-fiD на составдяющие по осям' SC^ ; концы этих, составляющих обозначим через Авк ,а длину 'отрезков AtO к , l3-леченную единигег длины, обозначим через ZK . Результат из-
•іереиия длини тех же отрезков "при помощи выбранных масштабов 3*г обозначим через і? * и назовем косоугольными координатами точки . Таким образом, мы имеем _>o
Если мц лриппием величинам Z и &*~ размерность длины, то 7.;оируіоль.ше координаты ?** будут безразмерными'величинами, ,з ортонормироьанлой системе -не имеет смысла различать координаты и составляющие; поэтому услориглся, что координаты точек ь "системе О осс имеют размерность длины. Тогда и составляющие вектора ?
1 *' л/с
в системе Оос*" .,равные ос , будут иметь размерность дли-
ны.
Обозначим направляющие косинусы осей п& относительно Осе с через g^icc , причем соответствие индексов "установим следующим образом: H *L
, JC1 t/к . (7.2)
Тогда мы можем написать . , ¦ ~<- / r->/ ; -»2 * **уЗ
Используя (6.1) и пргменяя развернутую запись, мы получим 1c^X'* 2'+*г' ог + Sj2*
Введем в рассмотрение объект
(7.3)
- 63 -
Еслп ввести в рассмотрение базисные векторы ок , как это *асто делают, то с- я строка объекта ?? представляет со-^Ю проекции базисных векторов на ось эсс . Обозначив совокупность 9їИХ проекций через ?*: , можем написать:
о/ Аз
b? б? &І
Элементы этоцо объекта имеют размерность длины. При помощи объекта &/с мы можем нависатьv / ^
Найдем квадрат длины радиуса вектора ?• . Это, очевидно,будет
причем здесь мы применяем условие* о суммировании по всем трем не-шм индексам S , . с i Аг . * Введем обозначение s
* ~S>i ?*. (7.4)
Элементы этого объекта имеют^азмерность площади. Тогда для квадрата длины радиуса-вектора ?, ' имеем
Х,СА>-?*г*В\ .(7.5)
Представим элементы объекта goc в наглядном виде. Для его диагональных элемейтов мы получаем /i2>
откуда ^e* V </J3 = ^-з '
Sa = I^m., • . (7.6)
.Воспользовавшись (7.6), вместо (7.1) подучим
Рекомендуется сравнить это о формулой (6.35) предыдущего параграфа. Обозначим абсолютную величину углов между осями ?* иг? через
^e./ , причем, очевидно, &Al . Тогда получим _,
Подобным же образом получим _
При этом, очевидно,
т.е. объект иск. симметричен. В развернутой записи мы будем имет*
Рис. 7.2
65
л
/OL
(7.II)
- 66 -
откуда
Нам необходимо выяснить геометрический смысл объекта Z L . Отметим прежде всего, что он обладает размерностью площади.
& Gx 6>г, fo$k&3%3
>„&л&зі (^3 fig, &*&зг * ?зз Если система А2: ортогональна, но не нормирована» то
O #г* O- (7#9)
л к L O O #зз Если система А В нормирована, но не ортогональна, то
~ і С°* в/З
Со*9гі / ?*&гз # (7Л0)
й*взг / J Наконец, если система А В* ортонормирована, то
