Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Приведение тензора к диагональному виду. Будем рассматривать ортогональный трехгранник, определяемой направляющими косинусами (зір , в качестве нового координатного трехгранника. Найдем вид тензора в этой новой системе координат.
По общему, праві
шлу имеем
Уем 6if>6*pSpf .
Фиксируем индексы с и К* , положив C=Cl и . Тогда
(5.10)
Из (5.7) имеем С До^ - Xg$p%)0gp = 0. Умножив это на o&f* и раскрывая .скобки, долучим
Воспользовавшись (5.9) и помня, что Ол/>Є^о ш OaJl , мы можем написать 1L- -
Sa.f-Xe%*?- (5ЛІ)
Отсвда видно, что прц (Xf-S ,т.е. для любого недиагонального элемента, будет &*е*0 , а при :
о .X^ о
Таким образом, в новой
° О >3J
(5-12)
системе координат тензор .(Sue принимает диагональный вид. Следовательно, оси нового координатного трехгранника, по определению, являются главными осями тензора, а корни характеристического уравнения (5.5) - собственными значениями тензора ^Pf- •
Случай равенства корней. Пусть ^a, , Ус,
три корня характеристического уравнения,причем а, в, с
различные числа из тройки 1,2,3. Тогда вместо (5*9) мы можем напи-сать три равенства 4 . ,
- 49 -
(X д- У i)&fpdep s о, .
(Ус - ^ aJ)Ocp?>&f> -О*
Пусть t Уа.? Ус У$ Ус. Тогда из последних двух
равеНСТВ слєдуєт. что 6^о<5с/> * О 9 Є*ср €>ар * O9
у#е. что соответствующие направления ортогональны. Однако в первом равенстве У a- - j\g = О f и.поэтому может быть dap <э?р , где 4 Jul ? 4 . Каждое направление в плоскости, перпендикулярной направлению, определенному корнем Л с » является главным направлением тензора. Соответственно этому имеется бесконечное множество троек Главных осей, имеющих одну общую ось.
Подобным же образом, если все три корня равны между собою, каждое направление является главным направлением тензора. Такой тен-SPp называют шаровым.
' Итак, если все корни характеристического уравнения различны, та имеется только один ортогональный трехгранник,оси которого являются главными осями тензора Spp~ . Бели два корня одинаковы, то имеется бесконечное множество ортогональных трехгранников с одной общей осью, оси которых служат главными осями тензора /Sp р .Бели же вое три корня одинаковы, то оси любого ортогонального трехгранника являются главными осями тензора ?рр •
Глаза П. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом
пространстве § 6. Объекты различного строения
Поіса мы остаемся в области ортогональных тензоров и их пркм& нений, достаточно, пользоваться одними нижними индексами. Для о боб, щения понятия4 тензора и применения тензоров в любых системах коор, динат оказывается необходимым писать индексы не только снизу глав, ной буквы; мы. будем "применять также вещщо индексы.
Ш будем писать, например,
OL,
/
CCy CLi к, Cl% , CL1* CLLk? , CLк?, •
Условимся, как нижние, ток и верхние индексы-могут принздл^
жать к первому и второму классам; индексы первого класса будем
по-прежнему считать фиксирукдами, индексы второго класса - скользу
щими. 4 t ,
\
объекты с нижним, верхним и смешанным расположением индексов мы будем называть объектами нижнего... верхнего и смешанного^ строе1 расположение индексов, следовательно, определяет ртроение объект. 5'акяі; образом, объекты могут различаться по их порядку, числу из peiu-ii' строению. Объекты с одинаковым порядком, числом измерекк и строением будем называть однотипными*
Б частности, тензоры нижнего, верхнего к смешанного стрсени будем называть соответственно ковариантЕыми» коктрагзриантными у рм^щакннми.
О развернутой записи. Развернутую запись нам почти не прчде
Применять, HO ВСЄ ж6 уДОбНО УСЛОВИТЬСЯ О ТЄХ ОСОбеННОСТЯХ,KOTOpt
приходится вводить для объектов различного строения по сравнениі с развернутой записью объектов нижнего строения, которой мы пол. вались до сих пор.
Условимся, что верхние объекты первого порядка гредставля собою в развёрнутой записи столбец, а шшние - строку:
eil ~ •
Верхние и нижние объекты Еторого порядка будем записывать виде таблиц с верхними и нижними индексами, причем как обычно я вый индекс есть номер строки, второй - столбца:
CC «
ОС
а*
La3 л
ClU =
CIh (Ііг CLiS ССгъ CL3^ (Xs ъ
а
lic „
CL Ct CL
Зі
а
CL
аг
CL
Ct
CL
/з гз
j3
- 51 -
Обещанный объект второго порядка можно представить как столбец
ил* как руроуу, щдрдрв.;
at- [лі аІаІ]-
А/с
ЛІ
at
<Х% (Xl
CL
CL3
CIj
тдким,образом, в развернутой записи верхний индекс есть номер строки а яиййий f столбца.
/Дрнррпие.действия с объектами рэзливного строения.
Досмотрим два однотипных объекта. Злеіленты, имеющие один и тотже набор - индексов в одинаковом размещении, назоьем сроуветст-.ренрыш» Например, рлэмекты CL3 и соответственные, элемен-
ты Cl* и - не соответственные.
fay о чет зо двух объектов определяется так же, кате и в первоіі главе: роьн>і;г: называются два однотипных объекта, если все соответственные злічіть! попарно равны друг другу. . ./> с'
Есфі двл объекта равны друг дру^у, например, CLk « см;, то гоже самое равенство ,toOMo записать ьри помощи ^юб&х скользящий индексов, jhjwl би от бы ти одинаковыми, в обеих частях равенства: причем индексы сверху и индексы снизу должны быть одинаковы в обеял чаАтйх равенства # *е. р л & г л t
