Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
- 72 -
зедем косинусы углов между осями взаимных систем 2 сс Sg и обозначим их следующим образом:
Теперь мы можем написать
Таким образом: 7 у
ЄСЛИ ? ^ CL f то CoS ?>я?* oZ%^ '
если #ї ae по Ce*?*/- Of Pa/* •
Следовательно, каждая ось одной системы ортогональна двум осям другой системы. *
Теперь приступим к определению масштабов &
»
взаимной системы. Для. этого вместо (7.42) напишом три системы уравнений: . с * - с—/
?f?f '«Я ,
Детерминант каадой из этих систем есть / Я ? I ; найдем его
значение. Ш имеем I *
\М Й- \Ыг'
\?\\**g: (7.44)
(7.43)
Следовательно
С другой стороны,мы имеем
JT
i?t І*Є **Уг frt* > (7.46)
причем индексы /3/ & означают номера столбцов детерминанта. Пользуясь выражениями (7.44) и (7.45), решаем первую из систем (7.43) по правилу Крамера. Для этого подставляем в (7.45) столбец свободных ллеJfOB.
- 73 -
решение будет
Вредя обозначение Э,г * / * & *
ш можем записать Zl' в виде внешнего произведения
Воспользовавшись формулой для квадрата внешнего произведения. ш можем написать
fr*(Wp-f C**?* -
-у І а,* gt-WC**П].
.откуда
и мы получае.л окончательно
где последние два равенства легко получить совершенно такнл же способом. Итак,взашлная система координат определена полностью.
ІЬіеем
74
Чтобы найти углы мезду осями взаимной системы, которые обозначим через Oi^ • напишем снова йва различных выражения для квадрата радиуса-вектора:
Отсвда следует, что
(7.46)
или
"( б* А *и ^A™= в* с* <& t.
¦
откуда и находим угол
(7.47)
/* X &S с*
Воспользовавшись (7.16) и (7.36), получим:
——— t
з/
^ -^ O3* Sc» 6>f± '
"A3
->u>? (ч*/*? -Ус/7 ?>S
- 75 -
§ 8. Метрика в криволинейных координатах
В § 6 при установлении метрики косоугольной системы координат мы исходили из факта существования декартовой орто-нормированной системы координат» метрика которой заранее известна. Именно, в декартовой системе координат квадрат длины отрезка любого направления равен сумме квадратов разностей координат его концов. Таким образом, мы исходили из справедливости теоремы Пифагора» В терминах тензорного анализа мы можем сказать, что метрический тензор декартовой системы координат есть тензор Кро&екера О см •
Существование декартовой системы координат есть экспериментальный ,факт» проверенный деятельностью людей в доступной нам области пространства.- Распространение существовании декартовой системы на все пространство есть некоторые постулат. Если он верен, то метрика вевду одинакова, вследствие чего метрически.'! тензор всюду одинаков и равен Ol'tc . Тогда и метрические. тензор
косоугольной системы координат ^ ^ * полученный в предвду-
щем параграфе ,тоже вевду одинаков, т.е. его элементы также всюду постоянны. В этом случае говорят, что метрика нашего пространства евклидова, потому что она определяется при помощи евклидовой геометрии, распространяемой при этом на все пространство. Такое пространство также принято называть евклидовым.
Однако в евклидовом пространстве могут существовать такие системы координат,'B которых составляющие метрического тензора не постоянны во всем пространстве, а зависят от координат точки. При этом само пространство продолжает оставаться евклидовым и в нем
. существует декартова система координат с зарсное известной нам евклидовой метрикой. Поэтому для установления метрики в какой угодно системе координат мы будем пользоваться постулатом о существовании декартовой системы во всем пространстве.
криволинейные координаты. Предположим, что декартовы координаты ОС 4 выражены в виде функций; от трех параметров .•
jf* Cf'' ?*?*)• (8Л>
Условимся, что * однозначны, непрерывны и имеют частные
произвольные всех порядков, которые нам понадобятся. Будеж сччтоть, что уравнения. Cb.I) разреди.а» относительно j? 9 т.е.
что из (8.1) вытекают равенства
2.*--^Y*;*>v, (8.2)
76
причем функции У* однозначны, непрерывки и допускают все
нужные нам частные производные.
При sтих условиях каждая точка определяется как тремя числами DZ с , так и тремя числами к ; пос-
ледние называются крігаолинойннми координатами.
Чтобы пояснить смысл этого термина, фиксируем некоторую точку А . (рис.8.I). Пусть ее декартовы координаты будут
X с , а криволинейные ф A , причем Ф^ХР^Рч
Если в уравнениях (8.1) мы зафиксируем какие-нибудь два па- ' раметра, то координаты станут функц^лі только одного
«раметра, вследствие чего 7равиекия (8.1) определят некоторую кривую. Очевидно, что через точку А проходят три таких кри-
вых; OOli^/o/t Q*, (Ръ) (oao3ws««e.р,
XU-f\ (Фу Q*)(oo<HWe^e;^&3r0*), (8.3)
Б криволинейных координатах уравнения 'этих кривых будут соответст-
венно
ф?~фг, ^3=гф3 ftcpugorsf pf)9
ф?*Ф', р*Ф* С^3J
jth кривые называются координатними; через каждую точку пространства преходят три координатные кривые (рис.8.1), можно сказать, что точка определяется как пересечение трех координатных кривіле.
