Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
О О
Si Sfa So ~ Sft
$г/ ?гэ - / 25 О
$3, Sm &э] [О О
В этом случае оси новой системы координат называются ШШШШ QQчш симметричного тензора , направления этих осей -главными направлениями, а диагональные элементы тензора в новой системе коордчнат - его главными или собственными значениями. -
* ос.
Рис. 5,1
- 45
^дактеоиотическое ^равнение. Рассмотрим свертку истинного тензора jSpp 0 каким-нибудь вектором CLp, ; эта свертка представляет собою также некоторый вектор; обозначим его через Sp (рис. 5.1). Мы имеем
$/>р (5.1)
Еудем считать, что вектор Cc^ принимает всевозможные направления с направляющими косинусами <Z>p, , взятыми относительно старой сиотзмы координат. Гудем искать среди этих направлений такое,если оно существует, чтобы векторы CLp и были коллинеарны, т.е. чтобы имело место равенство
Sp-X A7O,
яде. Л - некоторый скаляр. Тогда равенство (5.1)-можно переписать' так:
Spftlf. ^ У CLp, (5в2)
а, принимая во внимание, что CLp - Spp CL^, - следующим образом:
Очеввдно, мы можем написать ,
ар ~<эр&>,
где CL - длина вектора CLp . Поэтому будет
•> (fipp - Х$?р )(?p&~s о.
Рассматривая только такие векторы, длина которых не равна нулю, по сокращении на , получим
(^р^)^р^)6^ =0. , (5.3) Это система трех уравнений, служащая для определения направляющих' косинусов ; так как она однородная, то для того, чтобы су-
ществовали отличные от нуля решения, ее детерминант должен обращаться к нулю; это дает *
I Spp~ Хорр J *0. (5в4)
„Уравнение (5.4) служит для определения скаляра «А и называется ШМЕГериотическиу уравнением для тензора.
Покажем, что корни характеристического уравнения действительно являются скалярдми или инвариантами, т.е. не зависят от системы . координат, в которой написано характеристическое уравнение. Пусть у будет один из корней характеристического уравнения, вычисленный в старой системе координат. Ъгда ролжно -.ть [ $^Уі*ГРh °'
- 46 -
Ко по законам преобразования тензоров будот и поэтому ^ ' К9 - — ^
Ro по теореме Бине-Ксши мы може:.: написать -= , — % v /
и позтоілу .
откуда видно, что Л^ является корнем характеристического уравнения, написанного в іюрси системе координат, т.е, что У/ является скаляром (гл!вариантом). Кроме того, так,как при ортогональном преобразовании ~ / , то ~л само характеристическое уравнение "инвариэнтно относительно преобразования координат. Следовательно^, коэффициенты характеристического уравнения, образованные из элементов тензоров Sи ?рр-9 являются скалярами (инвариантами). D более родроґпа записи характеристическое уравнение будет
-A S
s 0.
(5.5)
Развертывая детергликзн j: в полином, получіїгі уравнение трзїье# степени относительно У г
. , X3- РЛ*+Р* У~Рз*0, (5.5)
где, как'мо>'но полічить прості*'.,;? алгебрг^чески'/л РнкллдкатИ, P «і /7 + ~ S сс , ' . (5 6)
Аз Sn $q
г*
' Sr/ S/г
Sj/ Sj^ ($зз„
Цичіщпенпе .направляьФих' косинусов. Из алгебры известно, что,
так как матрица| Sp^H симметрична, то все корни характеристического уравнения действительны. Обозначим каадьй из этих корней через У си- Каждому корню Уц_ может соответствовать своя система
_________ . ______________ «.«__________^ .. . . _ j<sL
значений направляющих косинусов, которую- мы обозначим* через <&<l
Иначе - каждому корню \«^соответствует некоторое направление. Сово-купность значений всех направляющих косинусов образует квадратную матрицу, элементы которой мы будем обозначать через <?tp, , где Ъ - индекс корня. В развернутой записи будет
(pfi ^із
\j?>3< ?>*г ёзз _ Здесь стрски соответствуют корням. ?ля вычисления элементов этого объекте Md имеем три системы уравнений, по одної! системе на каждое значение корня характеристического уравнения. Эти іри системы будут
(Sрр - X / ^) S/p ~ Oy
( ?р<р~ ~ ^<?Рр)^р ~0, ( $рр - K^ppfap^O
(fS'pp-X^Spipjda.p =0. (5.7)
Детерминант каждой из этих систем, согласно тому, что положено
раньше, обязательно равен нулю. Поэтому, каї: известно из алгебры,
решение каадой из однородных систем С5.7) можно написать в виде
j
Оси/
или вообще
" 4.
— Л о- >
A3/
1
¦г !
4-
-,До.
(5.8)
2
«З
Придавая гг.єзь ^ значения 1,2,3 , получим направляющие косинусы трех направление.
СлічлД раазглунх корне* характеристического уравнения. Пусть имеем два разлкчнь^ хорня и З** ? • Покажем, что определяе-
мые ими направления.ортогональны. Из системы (5.7) в этом случае имеем
или
Spp <°fy * HSp^&ej,
Ш.1 первую из этих систем на . 6 , вторую
па S c1
и вычтем
Умнож
одну из другой; мы получим
Spcp ?clp Sfy <&?р <Яауэ До.- Xi) Оцр Oft .
-* 4 в —
Но в левой части, в силу симметрии STf- » P ба "члена равны иъщ собою, как отличающиеся только немыми индексами; поэтому долено
а так как )v? О \ то мы получаем Є>а-/>^&> с09
т.е. что направления, определяемые косинусами &<у> и , .
ортогональны. ,
Итак, если характеристическое уравнение имеет два различных корня, то имеется два взаимно ортогональных направления, для каждого из которых верно равенство (5.2) или (5.3).
