Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 16

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 33 >> Следующая

Равенства tliio cl*** & і будем считать чэ имеквдми смысла.
Объег.т называется .нудер^. если все его элементы равны ну»so. Поbтому равенство объекта кулю означает, чтэ каждый из его элемьк-дов-ра^ен лудю.
Слол:енко определяется только для однотипных объектов, напршв]
С*=с?* +?к .
figMMOTprjf и аятиси:" тзтрня. Понятие сиглмстрии и антисимметри вводится только для индексов, которые расположена или оба снизу, иди-оба сверху. Для индексов смешанного расположения эти понятия не вводятся.
Рассмотрим, для примера, объекты второго порядка CL г к и CL Ясли эти объекты таковы, что
аг*** OLkc , 'Cl* - сс ,
то .они называются симметричными. Наоборот, если имеют место равен
і »
in
ства
>o объекты
CLefe ~ CLfcc
CLCK=:- Ct
fee
называются антисимметричным.
Подобным же образом можно определить симметрию и антисимметрии для объекту тюбого строения и порядка выше двух; .например, если дл^ объекта CL/tC верно равенство CL*g ~ , то он называется
симметричным по индексам ^ и С а если я ^ CLe^ » то антисимметричным по индексам /с и, & .
Q итерирование и альтернирование. Если объект имеет два одинаково расположенных индекса (т.е. оба внизу или оба вверху), то его всегда можно разложить на сумму двух слагаемых, из которых одно симметрично по рассматриваемым двум индексам, ,другое антисимметрично
например, g feit+aSsj *?(а1*е -АІчЛ
? CLe) + if CLc - <*?):
Введя обозначение _ . , / і , / , * * * s * ' « \
.'?((%+о$) ./ А*; * $ &-at),
мы можем написать ... /ле лік
Операция выделения из объекта его части, симметричной по каким-нибудь двум индексам или антисимметричной по ним, называется соответственно симметрированием и альтернированием.
Свертка (условие о суммировании). Обычно условие о суммировании вводится в виде, предложенном Эйнштейном: суммирование производится толыси в том случае, если одинаковы один верхний и один ттижний скользящий индексы, т.е.
Однако наравне с этим будем применять условие о суммировании в старой форме, т.е. будем суммировать также и по двум повторяющимся нижним скользящим индексам. Будут встречаться случаи суммирования и по верхним повторяющимся индексам.
Поэтому введем условие о суммировании в следующей общей форме: суммирование производится по любым двум повторяющимся скользящим индексам, независимо от их расположения.
Однако свертки объектов по двум верхним или двум нижним индексам будут нам встречаться довольно редко; как правило, мы будем пользоваться сверткой в смысле Эйнштейна.
Отметим сразу же, что введенное таким образом условие о' суммировании по двум верхним 1/uxsi двум нижним индексам есть чисто вычислительный прием. Как будет показано в дальнейшем, свертка тензора по двум верхним или двум нижним значкам не приводит к новому тензору і
f#e* •Ho является тензорной операцией. Наоборот, условие о сумг.ти-рованнк в смысле ЭйнштеЛна всегдз приводит к новым тензорам."
- ГЪзумеется, немой индекс можно по-прежнему обозначать любой буквой, но так, чтобы .избежать его позторенпя больше чем два раза.
решенное умножение определи только для объектов одинакового- числа измерений-, порядок и строение которых произвольны. Мы имеем, например, . . • . .
и Т.Д.» откуда ясно правило индексов для произведения: ему нужно-йршшсать сверху и снизу индексы, одинаковые в обеих частя:;: равенства. Таким образом, здесь уже нет то;і полной свободы в размете -шіи индексов у обобщенного; произведения, которой мы могли пользоваться, когда расслиатривали только одни объекты шинего строения.
Обобщенное произведение коммутативно относительно сомножителей, но не коммутативно относительно i.A. индексов, например;
/?- = CLC&ас ~ CL*", ^ „ • /рк
З последнее примере нельзя написать Pm2 =* tzoi илч /% - <3lc 6 * 'потому что такая запись противоречит только что установленному npa-'вилу.о размещении индексов в обобщенком произведении.
матричное умножение: .
р~ си
Pk CLs &к =
Pk * d * &s* Ci . . Мьехтцг доставленные из нулей и едтогщ*' Символ Кррнекера теперь может иметь три различных строенш: си* j 5* , оск*. -Однако ча»це всеґо. мы будем пользоваться символов Кронекора смешан-и°го отроения <5Г* . Легко проверяется, что
1& будем пользоваться абсолютно антисимметричные символом Третьего порядка только двух различных строений: нлжнего ?i*? * верхнего ?ik . Каадый, из этих объектов определяется совершенно
же,как нижний символ ?іа? , которым мы у^е пользовались в 16OPHH ортогональных тензоров.
I
Hay ^ aj I-
\~ г" I Jm
я? &\ а\ <f< ct% аЛ & а\ t%s
Ґ Ґ Р'
&1 a si
/.У с
~ 0<CLSf
- 54 -
Совершенно таким же образом, как было сделано во второй гла-
ве,
нетрудно проверить сл^юцр^. важные тождестваt ? ^рръ A cfk SjL ^tL
(ел)
Sp
Sp Op
=. S^ ,
Удобно ввести обобщение символов Кронекера, которые определяют.
ся следующим образом:
(6.2)
е
(6.3)
При помощи этих объектов можно выпсющять следующие действия, 2вменр рядовой ~ . ' г-»с
?р^еік ^ (о р O^-Op O ^JbU - Djop - . (6.4)
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed