Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
то отсюда следует, что будет также ^
* CLs Jk. * CC к і .
Это доказывается следующим образом:
Читателям предоставляется в порядке упражнения доказать это предложение для дважды контравариантною тензора.
Метрический тензор. Ассоциированные тензоры. Докажем, что объект, который в предыдущем параграфе был только назван метрическим тензором, есть действительно ковариантный'истинный тензор. і ся) ~
Объект оСъ ' есть, очевидно, истинный скаляр.
'Поэтому мы можем написать
а так как ¦ то |
откуда, в силу сишетрии объекта • • Л0ЛУЧЙМ
Но это - закон преобразования дважды ковариантного истинного тензора и наше предложение доказано.
В одн^м предыдущем параграфе , мы условились, что объекты, ассоциированные относительно фундаментального объекта, мы обозначаем одной и той же главной буквой, но при помощи расположения значков сверху г снизу. Однако теперь мы условились при помощи верхних значков определять контравариантные тензоры, а при помощи нижних - ковариантные. Ассоциированность тенсоров и их закон преобразования - это разные вещи. Поэтому необходимо показать,что эти два различных смысла одних и тех же обозначений не противоречат друг другу, если, в частности, в качестве фундаментального объекта выбран метрический тензор $ Р9~ • этого нужно показать, что объект ?f*p&~ 7* преобразуется как ковариантный вектор CLp ,
- 95 -
Во это почти очевидно. В самом деле, мы имеем Поэтому -~—'
Читателям предоставляется в порядке упражнения доказать, что ко-и контравариантные тензоры любого порядка ассоциированы относительно метрического тензора • Следит отметить, что такой же результат получится, если в качестве фундаментального объекта Еыбрать любол дважды ковариантиый тензор.
Псевдотензоры. Псевдотензорами называются объекты, преобразующиеся по одному из следующих законов (для кратности обратные преобразования не приводятся):^.
где ^*/<jfc/ » 8 ^оло 'У 9 как *й "в случае ортогональ-
ных тензоров, называется весом псевдотензора. Нетрудно привести . примеры таких объектов. Например, покажем, что детерминант метрического тензора ?e/fef/ecTb поевдоскаляр веса +2. Мы имеем: 0 '
Применяя сода теорему Вше-Коши, сразу Получаем
If-I ¦ Itf-Mitbi
и поэтому
^V*/- <9-ы)
Отсвда следует, что fj? - есть псевдоскаляр веса +1*
Применив объекты 4^/^* и для вычисления детерминан-
тов матриц и (2р , получим для этих! объектов (из условия их изотропности) следующие законы преобразования:
• ^//^*???*' (9.12,
т.е. по закону
- 96 -
егть CLCK * ?р (j^t
Отсвда следует, что объект ^pf^ есть псевдотензор веса -I, a - псевдотензор веса +1. Напомним, что эти псецдотрнзора
не ассоциированы относительно метрического тензора ? *>с , т.е. не могут быть получены один из другого путем операции поднимания и опускания индексов, _ . л>
упражнение. Показать, что dp'/ ?рргки ?***** ^ & ^ъ являются истинными тензорами. * S
Тензорные операции и некоторые важные тензоры. Как и в предыдущих параграфах об ортогональных тензорах, назовем тензорными такие операции, которые, будучи применены к тензорам, приводят к новым тензорам.
Сложение. определенное для однотипных объектов, есть тензорная операция. Доказательство предоставляется читателям*
Транспонирование есть тензорная операция. Например, пусть CL fi* ость тензор, тогда n Q,г*т CpGp CL**
Переставить индексы с и х: в обеих частях равенства мы всегда имеем право, но тогда, воспользовавшись правом обозначать немые индексы как угодно, подучим .
откуда видно, что CU*^ ^ есть тоже тензор. Точно также, если *V. есть тензор, то
Повторив предыдущие рассуждения, получим
т.е. что ? - тоже тензор.
Отсвда следует, что симметрирование и альтернирование тоже тензорные операции. Поэтому разложение тензора на симметричную и антисимметричную часть инвариантно, т.е. сохраняется при преобразованиях координат.
Обобщенное произведение тензоров. Закон тензорного преобразования был установлен нами как закон преобразования обобщенного произведения векторов. Поэтому обобщенное умножение тензоров есть тензорная операция.
рвеотка. Покажем, что свертка в смысле Эйнштейна, т.е. по одному верхнему и одному нижне- индексам, есть тензорная операция.
Пусть имеем тенвор t CLa, , его закон преобразования
- 97 ~
дернем это равенство, положив L« . Мы получим
<г? 'Cr' а*,
і,в« в результате свертки получается истинный скаляр. Подобным же правом для тензора третьего порядка имеем
,? * crt^Jfc^ * "(Те*2**- '
,е. в результате получаем истинный вектор. В порядке упражнения деятелям предоставляется доказать это в общем случае. Отметим, до при свертке порпдок тензора уменьшается на две единицы, одну ^вариантную и одну контравариантную.
Наоборот,' свертка тензоров по одним верхним или одним нижним вдвксам не есть тензорная операция. Например, для тензора CLfi^ икон преобразования есть
Свернув это равенство по индексам с и /с , получим
Следовательно, сЦ-1 f? CL/* » г«е- результат свертки не явля
