Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно показзть> что этот тензор -антисимметричен. *Ъ самом деле, условия ортогональности преобразования получаем
Сер 'Ск/ь~ Qifcj СірСкр+СцьСуь^О • ?tf> Скр ^ — C^ Сер
или — т ' '
у В механике обычно пользуются не тензором угловой скорости, а его дуальным вектором^ — _,
При помощи дуального вектора угловой скорости развернутая запись тензора угловой скорости будет выглядеть так:
~ 38 -
О
L -aV 0 J
Дуальный вектор истинного тензора есть псевдовектор веса I; доказательство этого предложения предоставляется слушателям. Поэтому вектор угловой скорости есть также псевдовёктор веса; закон его преобразования будет_
\&d Єє*. .
Напомним, что черточка относится к составляю^/! вектора в связанны^ с телом осях.
Так как в механике несобственные повороты не рассматриваются, а при обыкновенных поворотах всякий псев.^отензор является и истинным тензором, то в механике вектор угловой скорости может рассматриваться как истинный вектор.
• Тензор инерции. Найдем кинетическую энергию твердого тела; ,туш этого сначала определим кинетическую энергию какой-нибудь из
его материальна точек S * Так как_2^о^ Tfi'-forqjB связанных
осях будет 2/% - Vk_^ COc * откуда ?%. * ?V/cZ/k + ZS*
или 3Vk&*_ 7 ^ п
Но согласно (4.4) мы имеем 2?h =* Сь'^Ъц* С<ж? Zc Ш? * Это - векторное произведение; чтобы найти 9 нужно найти
квадрат векторного произведения. По формуле,- которую мы полечили в предыдущей главе, можно написать 1%? -(х!^?}*-ZiC^)uJ^aJ^, и мы имеем / '
"12^Ж%-К^^^-?^^^г . - (4.6)
Теперь для того, чтобы можно было развивать динамику в индексных обозначениях, нам нужно ввести два новых класса индексов, .для которых мы используем греческий алфавит:
ІКРІШг.....клав? ~ фиксирующие - от оС до ®.
Четверть:., класс - скользящие - от Xi до конца алфавита. Греческие индексы будут обозначать номера материальных точ.ек чтела.
Будем рассматривать массу тела f^J как объект, состоящий из масс его отдельных материальных точек /7?^ . причем на индексы четвертого класса распространим условие о суммировании подвеем материальным точкам тела'. Тогда; например, выражение /??д " будет обозначать «количество движения тела; если обозначить скорость его.цеьтра инерции через Voc> то по известной теореме механики получим__ _,
где M - масса тела. т.е. сумма масс всех его точек. Это равенство написано в связанна (новых) осях. Массу тела ш дрлйрн рассматривать как объект изотропный, т.е. считать, что его элементы не преобразуются при преобразовании координат, тогда (4.7) - тензорное равенство.
Равенство (4.6) справедливо для каждой материальной точки тела; чтобы записать зто в явном виде, припишем каждому числу равенства скользящий греческий индекс; мы будемJiMeTb
Там самым выписано сразу столько равенств*' сколько материальных точек имеется в рассматриваемом-твердом иле.
".' Умножим эти равенства на /т?> ; тем самым мы просуммируем '*|юзультат уложения по всем_материальным точкам тела. Это б^дет
В левой части стоит, очевидно, сумма кинетических энергий всех материальных точек тела, т.е. просто кинетическая энергия тель; Так KSK квадрат скорости есть скаляр, агмасса не образуется, то кинетическая- энергия есть щ?ж:тл скаляр;' обозначим ее поэтому через7"*. В правой части скорость ?/<•. , а їакже объект uUiCU*: одинаковы для всех точек тела; поэтому их можно'вынести за знак суммирования по материальным ',очкам тела. Мы запишем это следующим Образом :
/»Л (Vk = ту Vk1Uk ~MVc*Vk,
Введем обозначение^- _
- ¦ Этот симметричный объект называется тензором инерции тела в TO^e Д- Окончательно мы можеіл написать _. ^
Если, властности, точка А совпадает с центром инерции С, То .1Гк^ Ус< и :лы иыее*л_ _ _ _
T= І МУК * і Ac* «Jt , _
Цричем в последнем равенстве вместо Ac* написано Дсс*,чтобы подчеркнуть) что он взят в центре инерции тела^ —
Из я тих выражение мы видим, что свертка AcW & * есть истинный скаляр; поэтому на основании обратного тензорного признака
um заключаем, что тензор инерции есть пддйдоуе^зор веса - 2. так как бОс* есть псевдовектор веса I.
Закон его среобразования поэтому будет
Сер CpAi
(4.9)
Арр ъ С~"Сср СърАс'/с , Следовательно, при всех ортогональных преобразованиях тензор инерциц педет себя как истинный тензор.
исли мы хотим при вычислении кинетической энергии воспользоваться не вектором^ а тензором угловой скорости, то мы можем написать OUi я ^uIf-i
Ct) к * Сш>хх 0^y* > _ _ ___ _
Аг* 6^* ~ & ?</гп, * Swxk А ск ^<,& ^V* =
С.
где введено обозначение_ — _ -
$ бит? с ' S^ocK Ac* ~ А и ^u/jz. (4•1O)«
Так как объект шестого порядка ?%г?< ?&эс/с есть, очевидно, псевдотензор шестого порядка и весг> 2, а есть псевдотензор второго порядка и веса - Z9 то сьертка (4.10) дает, очевидно, истинный тен-зир четвертого порядка.*
Упорядочив иьдексы при помощи подстановки
1С ь/ I ,с ) I Jc P
гш получим__ _ . — " — - — .— —-
