Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 10

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 33 >> Следующая

Рассмотрим векторное произведение. Имеем _ —
Sp - ?рръ &p0i ; J? A ?с\к? CLx Od\
Hp мц змеем —. _ _ ^ -?
Поэтому^ ^ c ^А^-^^Х^г^
- ^Cepdp^CLp€z ~?Ct/>Sfi.
Итак, векторное произведение есть,псевдовектор веса I. Поэтому Результат векторного умножения является истинным тэнзором только при поворотах; в механике, в частности, векторное произведение
можно считать истинным вектором.
Таким образом, векторное умножение, определенное угюзанным выше способом, является тензорной операцией только при поворотах, следовательно, в механике это тензорная операция. Можно определить векторное умножение несколько иначе, так, чтобы оно было тензорной операцией при любых преобразованиях координат;
Для CMomaHHOTOji'wraBeAeHi'iH A A 4*«* Щ* ^*^- «меем
Ла ? с?ъСь St U/s =<f cTtsSt Ws =jfSi ил*<?А.
Таким образом, смешанное произведение есть псевдоскаляр веса I.
Слушателям предоставляется доказать, что тройрое векторное произведение есть псевдовектор веса 2, который в механике можно рассматривать как истинный тензор первого порядка.
Обратный тензорный признак или правило частного. Тензорную природу (закон преобразования) любого объекта можно обнаружить только что указанным способом, т.е. просто найти закон преобразования непосредственно из определения объекта. Однако для сложных объектов это бывает технически затруднительно. В этих случаях может оказаться эффективным так называемый обратный тензорный признак аналогичный действию деления!Чтобы им воспользоваться, необходимо ввести понятие произвольного тензора.
Задать тензор-значит определить все его элементы в какой-нибудь одной системе координат. Для этого необходимо задать достаточное количество чисел или функций, причем это количество не произвольно: для скаляра должно быть задано одно число или одна функция, для тензора первого порядка - три, для тензора второго порядка - девять и т.д.; пять заданных элементов, например, не определяют никакого трехмерного тензора.
Допустим, что в некоторой определенной системе координат тензор задан. Тогда в любой другой системе координат его элементы можно определить при помощи' закона преобразования тензоров соответствующего
порядка.
> Произвольным мы назовем тензор, элементы которого в какой-нибудь определенной системе координат можно выбирать совершенно произвольно, например, положить их все равными нулю,за исключением одного, который считать равным единице; этим произволом мы можем пользоваться так; как нам будет удобно. В качестве наглядного примера произвольного тензора первого порядка можно привести радиус-вектор произвольной точки.
- 33 ~
скобка* v;4t?"$uc4':, антисимметричен. Поэтому второй член тоадэст-
dghko . ^век ''1/t1oji глы идмвем ^ _
{С Cp C^^Si^Spp)SpSp - О ; ~ Сер Скр&Ск :
гь „ j-j :;пдует, 'что симметричная часть ^рр есть истинной тензор ечороро порядка. Если Qсам симметричен, то он истинный \ уинрор второго порядка.
Так как этот вывод иногда вызывает недоразумения,поясним . его подробнее. Пусть, например» Sf - S^jtO S$ =0 * Тог,,а равенство ^
( Cip CkoSjm ~~SppJ Op op - о ~~ 0 \Р р
принимает вид ( Ci, С«* SiK-S,[)S, 6г С^и^^/б^Я
'В СИДу СИШетрИИ ИМЄЗМ ?с& Слт/АЗск—Зг/ ~ Cc/C*r*S*/r~* &,? ,
и поэтому ?fCjf CtaSitL Sfг ) SfSa -Q^
а так как ?f; т* О, то Сс/ Сас& Зі*:~*&гз я О *
Теперь покажем применение обратного тензорного признака на нескольких примерах.
дри[лер I. Закон преобразования объекта первого порядка<2/э "неизвестен. Sp есть произвольный вектор; известно.что свертка рв OpOp есть скаляр; найти закон преобразования CLp t
Ш р Pj СІіІі а CLpSp; S^Ccp&p; CipCuSp -ClpSp;
(Cip'di - Un)Sr* °<
Но так как Sp - произвольный вектор, то отсюда следует, что CLp Ip CLc - . следовательно,, CLp- тензор первого порядка.
' BP??jf'P.?. Объект Q рр имеет неизвестный закон преобразован*. - произвольна! вектор. Известно,, что свертка ^^ррSp &р ' есть скаляр. На ivi: природу объекта Qpa . . Мы имеем. - 2Г р /? 7? />• #
1 Si о*. "fa'p&р Sp.; Sc-C^o Sg/ S* -
2;* Cip *?k*SpSp =gpp 4>&?/ SctpC*$^-gPp)Sfig? - с /Разлошп объект ^pp. на сумму симметричного и антисимметричное
ОбъеКТОВГ, QA О T
* $Рр ~ ^Рр + Арр / - О 6A- * ПІ* . v
ПОЭТОМУ будет л /О /? V Л \ J? J? ^
Ьбъек/ вебгдэ сиглметричен, а объект во втором члене в
- 34 -
ч
Подобное равенство, в силу произвола вектора Sp ,может быть получено для любой комбинации индексов /О и ?. , откуда и вытекает, что ^рр есть истинный тензор.
Пример 3. Известно; что, объект (о\,<5/>р~Q-pCt^) Sp^ есть истинный скаляр, Sp - произвольны*! вектор.. Показать,что а% <5/с? - CLp &р- есть истинный тензор второго порядка.
Так как объект /сі г 3/°уъ *~ CLpCLp) симметричен* то на оеновании результатов предыдущего примера мы сразу же приходим к нужному нам вьазоду.
Пример 4. Квадрат векторного произведения/^ - Сррг CLp&о, равный (o\fyp~&pap)fe&>ecTbt очевидно, псевдоскаляр веса 2. ^ Пусть fa - произвольный истинный вектор. Показать прямыми вычислениями, что объект CL г df>p - CLf> CLa есть псевдотензор второго порядка и веса 2.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed