Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
&г/ЗС< * (L32 хг * CLe3 *з. . mLb3/jc-f + LLjz -? + CL33
= cue » то преобразование будет гождест-венным; это легко проверяется при помощи развернутой записи.' Сле • довательно, равенства
совершенно равносильны. Но отсвда сразу следует, что Подобным же обрезом
г CL iK ЗС.
Очевидно, что если Q-. с а
(2.9)
и т.п.
(2.10)
"Разложение на множители" (приведение к виду свертки). Например: „ ^
В развернутой и матричной.записи это имеет вид
a
J3
-/
OC3
CL
4>
Cl31 хг + (&з*~<)
ос.
(2.II)
Два объекта
cl1
eil- аг
- 18 -
CC Ct с л: -
-ct3 О се/ аг -ay О j
(2.12)
называются дуальными друг другу. Легко проверяется, что дуальные объекты связаны соотношением
С1гк в ёи<? СІЄ. , (2.12)
Например, если с - at* / , то CZ// - О ; если с- /1
/с- ? , то единственный отличный от нуля элемент получится при ? = 3 и будет равен СЬз и т.д.
Обратное соотношение будет
О-б A 2 Ac/ . (2.12)
Докажем это. Мы имеем
что и доказывает наше утверждение.
Свертки обобщенного произведения объектов первого порядка. Рассмотрим обобщенное произведение CbC Ar • Положив
получим объект нулевого порядка, который обозначим через
4
Этот объект называемся внутренним произведением объектов- СЬС-и & * (Грассман).,
Образуем из CL/с и . Se объект первого порядка Sc следующим образом: ^ />
S = Ct*e. (2.14)
Этот объект называется внешним цроизведэнием объектов <LK и cfe Нетрудно видеть, 4to1jb развернутой записи получится
CL3 & * — Ct/ S3 Сі / — CL#
Внешнее произведете можно выразить через дуальные объекты следующим образом: . ^
ь Si - {?i>c? DC ) &лс * at* CLx . (2.15)
В развернутой ^зпиеи, используя матричное ужюжънт, получим >
о
S1 «
S1 =
з
4
о
J1
- IS
полойвнм же образом получтаї: , л . а # »
(2.16)
Укажем удобный для запоминания способ записи:
Sc/ '<5*> Si3
# ?/ Й.
ВЕИДЕЯТ внешнего произволения. Тождество Эйлера-Ланграржа.
Это - тождество Эйлера-Лангранжа. легко проверяемое. В индексных обозначениях очевидно, получаем
a (а?е oi*-(Lia*) Fu-ага*.
- Упражнение. Показать, что развернутая запись объекта в скобках формулы (2.18) будет г г л
' ¦ {J-Cl3^f -*?**? CL/e+a.j_
Упражнение. Воспользовавшись дуальным представлением объекта * CLj $ показать, что
(2.19)
-/» ~?*г ~ •^c - *соу и>^го' . (2.20)
Решение. По (2.12) можем написать
Следовательно ~ * /? /> /? />
CLi* &лг9 г ^с\з/> Lj^p ?Z>p.~?tS/0 besf, Gyo Ct^ - 4>=іг4^г ~
Предложение доказано. То же самое можно получить,пользуясь правилом умножения матриц; при этом нужно только заметить, что б сокращенной записи матричное умножение записывается так:
О* is &Sac • Нам же нужно найти CLls CL/os \ это означает/ что пторой сомножитель транспонирован: умножается не строка на столбец, как в матричном умножений, а строка на строку. Пользуясь • (2.12), мы шжем записать это так: 1 Г г *
О -CL3 &г &2+&3 -Clf&z -aftU
Д-з О -CL1 s -ага< ?^+с? -аг&3
~&г ?/. О [J -H3CLf -&3*-г в-і+^г
О CCj ~&г
-CL3 О CLf CLo -CL4 О
CL^
з CL . (2.21)
Вычисление детерминантов. Введем следующее обозначение для детерминанта, составленного из элементов объекта второго порядка
а// <?<г CLf3 ^*/ CL*e cl?3 =¦ иг, &зі сЪзг CL43 Согласно определения детерминанта, дсак суммы всех произвело-йий элементов детерминанта по одному из кавдой строки и каждого столбца, мы мо:..ем написать
а * O-it CLKa CLf3 (2.22)
ИЛИ /?
Ct * Cfp. a,f/> а-гр. Cljz>. (2.22)
Первая формула представляет собой способ вычисления детерминанта при помощи элементов произвольно выбираемых строк, вторая - при помощи элементов произвольно выбираемых столбцов. Рассмотрим объект третьего порядка
А - ОіхЄ Cl t/> CLx р CLg^ ф
Он обладает следующими свойствами: I) если среди ppt- хотя бы два индекса принимают одинаковые численные значения, то соответствующие элементы объекта APf,'*' равны нулю, так как это -детерминант с двумя равными столбцами;
2) если р$Ъ образуют четную перестановку чисел 1,2,3, то элементы равны просто а- ; 3) ,если ъ образуют нечетную перестановку тех же чисел, то элементы равны--^Z- •Ho подобный объект можно записать так
Следовательно, '
*ск? а*/° CLg7.- CXC^. (2.23)
Совершенно очевидно, что можно также написать
€/>р г &?/> CtKp CL~ а, (2-24)
'Это очень важные тождества.
упражнение. Доказать теорему Бине-Коши: детерминант произведения двух матриц равен произведению их детерминантов.
Решение* Пусть заданы два объекта CL;K и # 9 образуем их матричное произведение сс<к « ^гдг . Требуется доказать, что А
/^/в/«*Ш'
Введем обозначения / ' / ' г1
имеем
- 21 -
jah можем написать . ? 0 J> S /> ? />
* Сі*Є (CLiP 6f><)(ЦВДа^Дєзі ?teg Ccf C^ Ce3 -ддцжнение. ПоказаЛ, что r' . -4/ ' * 3
/ JIv ~ CLi CLkО. (2.25)
решение. Если A4^c - объект, дуальный % очевидно, в силу ^антисимметрии acte, /йік/^О* Поэтому, пользуясь теоремой Бине-ІСоаіи,
