Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Предметом нашего специального изучения будет один очень частный вид объекта, называемый тензором, определение которого мы введем лишь в дальнейшем. Так как для начинающих, особенно в связи с теорией относительности, слово " тензор " обычно окутано своеобразной мистической дымкой, мы в качестве первого примера объекта рассмотрим обыкновенный компот, состоящий из яблок , изюма и черно -слива. Таким образом, элементами компота являются яблоки, изюм и чернослив. Для обозначения всего, что связано с компотом» введем букву си и назовем ее главна буквой компота. Элементы компота всегда будем обозначать при помощи его главной буквы с индексом, например, Qy- яблоки, Ct^- изкм, (Zj- чернослив. Так как компот состоит из этих элементов, то чтобы обозначить "дам" компот как целое, нам нужно выписать все его элементы; однако это громоздко. Чтобы помочь делу вспомним, что в алгебре* щфры заменяются буквами; поэтому мы можем обозначить "сам" компот через CZc • услс -вившись, что индекс с -пробегает значения I, 2, 3. Таким образом "сам" компот и одновременно все его элементы обозначены одной буквой с индексом; специального обозначения для "самого" коїмпота вводить на-будем. Обозначение объекта в виде главной буквы с индексами назовем сокращенной записью, в отличие <от развернутой, где каждый элемент объекта записывается отдельно. Но в развернутой записи мы можем писать элементы в каком угодно порядке, например, в виде строки, столбца или как-нибудь иначе. Мы можем, например, условиться, что объект, записываемый в виде главной буквы с одним индексом, в развернутой записи есть столбец; Г <2/
Чтобы подчеркнуть, что все элементы столбца образуют один объект, но не обязательно матрицу-столбец, мы будем заключат* их в кводрьт-
ныв скобки. Однако мы можем упорядочить запись элементов нашего компота в виде квадратной таблицы из девяти элементов, каждый из которых ровен либо одному из элементрз CIi * кулю. Такие таблицы обозначаются в, виде главной буквы с двумя индексами (например, матрицы); поэтому мы можем обозначить наш компот и черезCi^1
где, например,
Cc
о а3 - а* -а^- о а і .#г о .
причем мы, конечно, должны условиться.о том, что означает,например, изюм, взятый со знаком минус. Дальше мы можем изучать зави -симости между различными обозначениями компота и различные преобразования компотов, для чего введем некоторые правила и т.д.,иначе говоря, построим лз глубины собственного духа некоторое компотное исчисление.
Но, мы, конечно, собираемся заниматься не компотами, а объектами, которые являются важными в точных науках; обычно такие объекты состоят из чисел, функций или математических символов.Простей-шим примером объекта является обыкновенный трехмерный вектор,который, как и компот, может иметь обе приведенные выше развернутые записи.
Итак, всякий объект мы будем записывать в ваде главной буквы с индексами или значками, причем эти два слова считаются абсолютными синонимами. Такую систему обозначений объектов назовем инпек-рной.
Число индексов у главной буквы назовем порядком объекта;могут существовать объекты любого порядка. Мы будем рассматривать такие объекты, для записи которых достаточно одной буквы без индекса;их будем считать объектами нулевого порядка. Например, работа силы есть объект нулевого порядка.
Число значений, которое может пробегать какой-нибудь индекс объекта, назовем измерением объекта по этому индексу. Например, если сила задана тремя своими составляющими по каким-нибудь трем некомпланарным направлениям, то сила есть трехмерный объект.Изме-рение объекта не следует смешивать с его размерностью, которая определяется физической природой его элементов.
Мы будем рассматривать только трехмерные объекты и в дальней- • шем нигде этого специально оговаривать не будем.
Происходящее отсвда ограничение общности является незначительным.
- 7
Опыт показывает, что студент легко переходит самостоятельно к объектам любого числа измерений, а усвоить тензорное исчисление на трехмерном примере значительно проще. Кроме того, трехмерные объекты очень распространены в прикладных науках.
Условимся о способах развернутой записи объектов различных порядков.
fljftftKT нулевого порядка - одна буква без индекса: cl .
ДОъект первого порядка - столбец:
Ct1 =
с\/ а*
L CL3
Объект второго порядка - строка объектов первого порядка (строка столбцов или столбэц строк, или квадратная таблица:
CL* 7 - Г a"ff 7
CL/.
с*
д [CL ?4
а
а
CJC
CLaf CLju Otfj I . CL3і Оизъ j
Объект третьего порядка - столбец объектов второго порядка или столбец квадратных таблиц:
CLf// CLf^/ Q~tff
CLns// 0~&/ &23f
CLj// CLj2f Ou зз/
te-rta CL иг CU*2
CL ИЗ CL/JJ CL/зз
а-г/з CL*j3 CL233
CLj *J <*-*?J CL-335 _
Объект четвертого порядка - строка объектов третьего порядка
а*Ск€т * CLi^ к т.д.
Мнемоническое правило для развернутой записи: объекты нечетного порядка - это столбцы объвктов порядка на единицу меньше, а объекты четного порядка - строки объектов порядка4 на единицу меньше. Можно пользоваться и любым другим способом развернутой записи, если он удобен в некоторой конкретной задаче.
