Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
МЫ ИМвем 0 Л ~~?, 2 С?__- /7 л g ,.t? і
следовательно ^ 3 - '•' « 7р 7>
[(оГ?$ік-а+(и)-ф
Так как объект СХ^Оік ~ CLc 9 очевидно,симметричен, то выражение B^ квадрат та скобках должно быть равно нулю, откуда, получаем
( &е Ob-Ot(U)=(?rCipC^(ab$f>i - CLp(Lp)9
а это и есть закон преобразоЕания псевдотензора второго порядка и веса 2. ^ ^
Дримєр 5. В выражении * ' •
CLppof* АГ/*
0СТЬ ршизволЕныц псевдовектор веса & } Xp- псевдо-вектсф веса JC . Показать, что Сіро есть псевдотензор второго порядка и веса <Х~~& _ а _„ х
Мы имеем CLi^^ Ki- Сы J *2 ~/с) CiS -
поэтому (?)*С*р €и*ёр*(?)*?*К* .
Сокращая это на (?)х и умножая на j??<y° э получим
(?) Cip&pCLcb&p** Дро>.
Вычитая это из заданного равенства, получим
- 35 -
ОГЯУД0» в силу произвольности'вектора ? , следует равенст-зо нулю выражения в скобках, т.е. _
A С- Cif> (Lite ,
а «то и доказывает наше утверждение.
На основании приведенных примеров дадим следующую- общую форцулировку обратного тензорного признака.
Пусть Дано равенство ~
где &?х - ^ ость происаольцьці псевдотензор порядка ? * и веса O , а Kf>p..,s - лсевдотензор-. порядка 3d и веса Л? .
Тогда объект CLCa: —яу°? v % есть псевдотензор порядка о?~ ? и веса //» <3 •
\ , Здесь нудно запомнить, что симметрия или антисимметрия •доевдотеизора ёск т ограничивают степень его произвольности, Симметри-шыи или антисимметричный "тензор ле являются произвольными.
. доказательство приведонной теоремы очень просто,* выло , іяется способом, разобранным в предыдущих примерах,и предоставляется .читателям в качестве упражнения. *
Ортогоиальтгэ тензоры в механике и Физике
В настодцец г^аве будут приведены примеры ортогональных тензоров, с которыми приходится иметь дело в механике, теории" упругости и теории поля.
— 36 —
Тензор угловой скорости. Пусть ОJCp - неподвижная система координат <рис.4.1); тогда радиус-вектор -Xp какой-нибудь точка А есть, по определению, истинный тензор первого порядка.
Пусть точка А движется, так что JCp являются функциями времени; время мы уславливаемся считать истинным скаляром. Пусть скорость точки А есть Op ; так ,как
то очевидно, что скорость точки есть истинный тензор первого порядка или истинны** вектор. Тагим же образом получим, что ускорение точки есть истинный вектор.
Пусть теперь точна А принадлежат некоторому твердому тел:/. Примем ее за начало связанное с телом .системы коордиг^т Afic \ •;гис.4Л); rfycTb Q есть ШШІШШШа точка-твердого тела; ioruio ее раеиус-вектор Jp? относительно точки А ^CTb ПРОИЗВОЛА-'Шй. ^CTHHHbV вектор. Обозначив радиус-вектор точки Q относительно точки О через , а направляющие косинусы осей A(Zi относительно Охр через Сер , получим, ОЧЄЕИДКО,
¦ * ус - Су> fx? ~ XpJ. .
Будем считать систему Охр старой, систему - новой и введем
(Позначення _ V7-»
ус * tc / OCp- х? tp.
Таким образом, черточка над главной буквой будет относиться к связанной системе. Тогда будет
Сер Zp, (4Л) .
Ip *Сср
Так как точки $ и Зк принадлежат твердому телу, то Zi * const^ с другой стороны, Ър ^conjtb . Действительно, обозначил скорость точки А через ър , а точАш S через Pp ; тогда имеем • .
Zp * Xp - Xp * Vp - с/р *
Таким образом,- производная tp равна разности скоростей точек а и s і причем o - произвольная точка тела. Следовательно, эта производная равна нулю для каабой точки тела только в том случае, иногда тело движется поступательно. Поэтому вообще она не равна нулю и мы можем сказать, что производная характеризует воашательнде движение тела. •
Введем обозначение ?Г g Z а
Wp р .
- 37 -
(доойдно, P есїь истинный вектор, так как это разность двух ястишінх векторов:
дифференцируем второе извразенств (4.1), получим (т.к. ?/ - covSr)
Vp s СУ> . _ (4.2)
Важно заметить, что векторы 1?р и 2Гс- определены в разных сис- . темах координат. Так как lfy> ~ истинный вектор, то мы, очевидно, имеем ?Тк^ Єкр2^p • _ . _
Поэтому, углножив (4.2) на ? КР , полу чіт ^4-°? .
Во -пбежание недоразумений,напомним, что и 3?4- это
• составляете одного и того же вектора по двум различным системам осей; не является относительной скоростью в новей (связаннол)
системе координат; эта относительная, скорость была бы тождественно равна нулю. Введем обозначение^
Сое* * Сг/, С*р . (4.3)
Тогда оудит — — —,
Так тк ' и ?с - истинные векторы, причем прол.з-воден, то по обратному тензорному признаку есть истинный
тензор второго порядка. Напомним, что характеризует вращательное движение тела; поэтому и тензор $Оск также характеризует вращательное движение тела. Но вектор Z^h относится к какой-нибудь, хотя и произвольной, но определенной точке тела, а тензор ук не зависит от того, какой именно точкой тела мы пользовались дач его получения. Поэтому он характеризует вращательное движение -тгла в целом и называемся цензором уулово;> скорости тела. *
