Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
- ІЗ -
. Пусть / s
докажем, что рс Сг*?^*? -О-
Поэтому п
Здесь во второй строке мы воспользовались свойством дистрибутивности, в третьей - симметрией объекта Pi , в четвертой -тем правилом, что немой индекс можно обозначать как угодно.На этом сдановании мы во втором члене сделали следующую подстановку немых: индексов / ? к І
( * ?/•
Конечно» можно доказать это предложение и без использования приведенных выше правил, например, просто при помощи развернутой записи; однако это заняло бы значительно больше времени и места. Экономия времени и места есть одно из главных преимуществ индексных обозначений.
- 14 - .
S с*-
(2.2)
«
§ 2~Векторная алгебра в индексных обозначениях
Во многих разделах механики, физики и инженерных наук сущест-венную роль играют трехмерные объекты; в особенности трехмерные векторы. Кроме того, изучать индексные обозначения особенно удобно на трохмерном примере. Поэтому рассмотрим специально4трехмерные объекты, шея целью получить формулы векторной алгебры в индексных обозначениях.
Для иллюстраций иногда будут использоваться матрицы. Пусть это не смущает тех, кто еще не овладел теорией матриц: для. последующего необходимо только понятие матрицы и правило умножения матриц, которое к тому же почти всегда поясняется развернутой записью. ^
Среди трехмерных объектов многими важными свойствами обладают объекты, состоящие из нулей и единиц; в частности, особенности интересен объект О t<e , называ_емый символом Кронекера и абсолютно антисимметричный объек* ?г*?.
Символ Коонекера о <> >0н определяется так, что все элементы, для которых б/ <с , равны нулю, а элементы, для которых с-Л> , равны единице: >. \
OU s у fc°*0. (2.1)
Развернутая запись сголвола Кронекера будет
і О О
О У О
о о і А
Таким образом, мы видим, что в развернутой записи этот объект аналогичен единичной матрице.
Символ Кронекера симметричен, т.е. S}* - S/zi *
Свертка символа Кронекера^ <? SP
olt ~ <3>^ ^ °гЗ * ^33 = 3.
Очевидно, что если рассматривать символ Кронекера измерения As9 то ого свертка всегда будет равна M ,т.е. числу измерений.
Образуем объект четвертого "порядка Sc/с ср?и свернем его, положив &~^о ~ S : ^ ' •
?1? <Psp~Sa St^+&J>*p + Sb&p~^pyz.$)
так как сразу видно,, что элементы этой свертки равны кулю, если с f и единице, .если с—О ,
Точно 'также1 •
Sis Sj^s я SsISpS « Ss*Ssp - Sip . (2-4)
- 15 -
Нетрудно видеть, что это свойство не зависит от измерение символа Кронекера, т.е. остается справедливым для символов Кроне-хера с любым числом измерений
Дбсолютко антисимметричный* объект ^S*^_• Абсолютно
антисимметричным объект называется, если он антисимметричен по любой паре индексов.
Объект \?ск?. определяется следующим образом. Его элементы равны нулю, если хотя бы два индекса одинаковы. Элемент ?г<аз принимается равным +1; далее все элементы, имеющие комбинацию индексов, получаемую из 1,2,3 четной перестановкой, равны +1, а получаемые нечетам перестановкой, равны -I. Очевидно, что определенный таким образом объект является абсолютно антисимметричным.Кроме того,видно, что абсолютно антисимметричный объект л/ измерений должен, быть обязательно порядка M , т.е. иметь А/'Индексов. Его развернутая запись имеет следующий вид;
г
С-с ас/
Cart ^ггг^аз* &з г г ?3гг ?ззг
"С г f3 L>223 &
Сэ'З &
згз C333
Образуем объект шестого порядка Тогда имеет место тождество
О О
о о о
f
о
-/
о
о о
о
О
о о
о
О
о
о о
о
о
(2.5)
і
f
(2.6)
Это - одно из важнейших тождеств в индексных обозначениях. Оно -почти очевидно; проверим его.
Сравним индексы нулевых элементов в'обеих частях равенства. Всякий раз, как слева два или tpij индекса какой-нибудь из групп
Ос ? или рfit- равны между собой, слева будет нуль. Это соответствует чому, что справа будет две (три) равных строки или два говныу етолога, т.9. тоже нуль.
ОМбЕ
И^З ~
/ О
о
о' о
о
о
/
-16 -
Далее, возьмем следующие комбинации индексов:
к Є * ? 3
В этом случае имеем
Я" J/2 J/3
5*' <?з 5з5 Таким образом, равенство верно, так как в обеих его частях
стоит единица, каждая четная перестановка индексов каждой группы
не меняет знака обеих частей, а каждая нечетная - лзменяет знак
на обратный. Отсвда следует, что элементы в обеих частях,имеющие
одинаковые наборы ішдексов, совпадают, т.е. что рассматриваемое
тождество действительно имеет- место;
Рассмотрим теперь свертки тождества (2.6); очевидно, что.они
дают новые тождества. Имеем
% arW яг*
$lp ^ c&
7eA
4> J^P
Sty
. f
+3
Sip <&p>
Сделаем нечетную перестановку немого индекса, например:
<?ср W
$<р SkI Оку,
*0А
-3
0<f> Sk^
Sic,
Ja^p окр
- 17 -
(2.3)
и
Отсюда мы видим, что свертка есть объект четвертого порядка, . равный алгебраическому дополнению элемента в детерминанте
(2.6).
,Нетрудно' найти дальнейшие свертки, получаем;
?
it feiа '-?»" ^
Подобным же образом.
Art?.^A і- ^>JV
Рассмотрим теперь применение объектов O іл? Ьаменд индексов. Возьмем преобразование объекта jtv в объект Ui ; определяемое равенством
