Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Если через JCp обозначим координаты-точки А в системе ОOc^ , то преобразование будет иметь вщ
Это преобразование состоит.из параллельного переноса. при котором система О Xp преобразуется в систему /foej^ ,параллельную первой, и изменения направления осей координат.
доданий векторы являются объектами первого порядка, из которых по приведенным в предыдущих главах правилам мы можем построить объекты любых порядков и писать равенства между объектами при помощи индексных обозначений. Возникает вопрос, остаются ли равенства, написанные в индексных обозначениях, инвариантными относительно систем отсчета, или они теряют это свойство. Чтобы выяснить это, необходимо рассмотреть закони преобразования объектов различных порядков. Оказывается, что можно найти такой класс объектов, что их равенство, верное в одной системе координат, верно и во всех остальных, т.е. является инвариантный.
\
- 26 -
Как известно, условия ортогональности'преобразования (т.е. условия, при которых ортогональная система осей переходит в ортогональную) будут
С is Сі Sip С si С sp ~ <П/> .
Отсвда получаем
I Cis СЛ5/* / дер/.
Но / оір/s/ 9 а по теореме Еине-Коши '/ CisCpsJ^/Cis/ICps/^Cl откуда ^i/. '
Преобразования с С* +/ называются поворотами или вращениями системы Ayі относительно системы Азе? • При этом система Ayі поворачивается как твердое тело; правая система координат переходит в правую, левая в левую.
Преобразования с С3* -/ называются несобственными или' sep-кальными поворотами. При этом правая система переходит в левую и наоборот.
Преобразование системы AfcjoB Ayс называется движением.
Из преобразований, связанных с изменением направления осей координат, в механике применяются только повороты. В других разделах физики, особенно в физике кристаллов, применяются общие ортогональные преобразования.
Ортогональные тэнзоры. Пусть имеем какой-нибудь радиус-вектор A?* Cl . Назовем систему 02J1,для кратности старой.. Ajfi- новой. Будем обозначать составляющие вектора в старой и козой системах через CLfi и CIi соответственно. Тогда Qp* JCp-OCp9 CLi * Ус • и закон преобразования от старой системы к новой будет *
' CLc A Сер dp. Обратное преобразование получим, умножая обе части этого равенства на С is й- используя условие ортогональности Ci$ C1^o * Ss^o
CiJ CLl A •
Итак, мы получили_дгэ преобразования - прямое и обратное;
ai* ар ctpy
CLp - Cip CLi. (3.1)
Следует обратить внимание на расположение немых индексов, которое
показьтает, что матрицы преобразований транспонированы.
Всякий объект первого порядка Tp , преобразующийся по
w ?-?•?-
то
- 27 -
йазовем фртогокадьннм тензором первого порядка или радтридд. 3JOT объект может уже не быть чисто геометрической прирсды, ;.сак радауо-вектор CL , а иметь любой другой физический смысл.
Пусть два тензора 7р и Sp в старой системе равны друг другу: Tp* Sp.
Покажем, что это .равенство сохранитоя ив новой системе координат, т.д. что оно инвариантно относительно ортогональных преобразований, для этого умножим обе части равенства на Сер , получим:
С la Tp ~ Сер Sp. —
Но по определению <Гс>^а/7у Cip Sp « JV' откуда 7J*SC-* р Рассмотрим теперь обобщенное произведение двух векторов ?p?sCfao? Примем по определению*, что объект fipp в новой системе координат Оудет І^Ск а 0*1 °к и найД9М отевда закон преобразования объекта Х^о^. .__Так как ^
A ^4° > A A^ ^ »
T^iK = С*р С** cip &л
и поэтому в с^ с4^Pp -
Чтобы получить обратное преобразование, умножим это равенство на Сіь Єк& JL.получим" «
as /ъ*
Делая замену индексов • .
/ г- •*
получим . сґ Jr
Таким образом, мы тлеем прямое и обратное преобразования
Всякий объект второго порядка 7^^. і преобразующийся по закону (-7-7 /о, гтг
называется ортогональным тензором второго порядка. <'
Упражнение. Показать, что если два каких-нибудь тензора второго порядка 7рр и S рр равны друг другу в старой системе координат, то они равны и в новой, т.е. йх равенство инвариантно относительно ортогональных преобразований. Е§ШЗШ:
Пусть Трр * Sрр , умножив это равенство на Cj0 C^ ^
получим СсрСхр Трр Ce7o С«р Spp .
- 28 -
Но по определению —
откуда мы имеем - Sc'jc
Точно так же, рассмотрев преобразование объекта, составленного из обобщенного произведения трех векторов, мы назовем ортогональны^ тензором третьего порягугсд веский объект 72*/?, прообразующийся по закону; . /р, /р* /?
г « C4P С«р 7bcif.
Равенство двух тензоров третьего порядка тоже инвариантно относительно ортогональных преобразований. ,
Совершенно, таким же образом мы можем ввести ортогональные тензоры любого.порядка, равенства которых будут инвариантны относительно ортогональных преобразований.
. Чтобы завершить этот ?яд, определим тензор нулевого порядка при помощи, равенства T*8 74»
Тензор нулевого порядка часто называют скаляром или инвариантом
В к|честв| примера^скаляра приведем квадрат длины вектора <Z/>, пусть CL^ (Zsf &fmjCL^ . Возвышая первое равенство (3.1) в квадрат, получаем *CL^ О* * 4•A^ * а? ¦ т.е. а,г ~ CL , *
