Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 9

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 33 >> Следующая

откуда и видно, что Cb есть скаляр.
Как будет показано ниже, применяя действие свертки, мы всегда можем построить инварианты из одного или нескольких тензоров.
Итак, ортогональные тензоры-разных порядков - это объекты, преобразующиеся по законам
Теперь мы можем сказать, что равенство тензороз любсго порядка инвариантно относительно ортогоналышх преобразований.Такие равенства называются также тензорными равенствами.
Истинные тензоры и псевдотензоры. Существуют объекты,отличные от тензоров, равенства которых также обладает свойством инвариантности относительно преобразования координат. Рассмотрим такие объекты.
- 29 -
Возьмем', например, объект ?t*? . Нам было бы удобнр,чтобы добавляющие оставались во всех системах координат неизменными. Вели мы припишем объекту С Lk t. свойства ортогонального тензора третьего порядка, то его закон преобразования должен был бы быть
a C^ сгъ ?/>?*-
Однако мы установили форму
?ікЄ^с СCp СкрС^ъ?^.^ Следовательно, тензорный закон.преобразования не обеспечивает неизменности составляющих .объекта ?/>рЪ во всех системах координат, и, чтобы достигнуть этого, необходимо принять закон преобразования в виде —¦ . '
Сск& * ? С jo С/ср typt. . (3.5.)
Этот закон преооразования отличается от тензорного наличием численного множителя .
Всякий' объект, закон преобразования которого отличается от тензорного множителя (9 называется ортогональным нсевдо-тензором/ а число /v называется ресом псевдотензора. *
Если нам нужно будет подчеркнуть разницу между тензорами и псевдотанзорами, мы будем называть перше иетттчедми тензорами.
Поевдотензоры нулевого и первого порядка называются также дсевиоскаляром и пеэвдовектором.
Итак, поевдотензоры разных порядков - эте объекты, преобра-зуюшиеся по законам * _
Vi = (<?)"ар% Tp *С"С*7г^ (3.6.)
lkt * Ф Vtfi&fo* ft#T С "й> С** 77*?
TaSc как при ортогональных преобразованиях С * ~ / » то псевдотензоры четного веса ничем не отличаются от истинных тензоров; псевдотензоры нечетного веса при поворотах также ничем не отличаются от истинных, но при несобственных поворотах их законы преобразования различаются знаком, например, псевдостляр преобразуется по закону 7^*— T * псевдовектор - по закону ТР^^СрТр и т.д. Чтобы сделать разницу более наглядной, рассмотрим в качестве примера преобразование пеэвдовектора веса ? /V*+ / при двух типах несобственного поворота: ,
- 30 ~
* случав истинного вектора мы имеем
-/ о о
OiO О О 1
П t3
*71
' -/ о о т, +T1
О і О
0 0 1 T3
Разница очевидна.
Изотропные тензрры и,псездотензоры. ^Ізотропними или числовым^; тензорами и псевдотензораш называются те из них, элементы которых-не меняются при преобразовании координат.
Нулевой тензор любого порядка изотропен. Истинный скаляр есть изотропный тензор нулевого порядка. Изотропных ненулевых веществешшх тензоров первого порядка не существуат. Изотропен только пулевой вещественный вектор.
Рассмотрим SIk как тензор второго порядка, т.е. припишеи ему тензорный 3JjKOH преобразования. Тогда будет _
См <Ка « Сі/о Сло OU
QPP ^ i/o ^ uca7 ,
откуда следует, что oZa* есть изотропный тензор второго порядка.
Можно показать, что единственным издтропным псевдотензором третьего порядка является . .
Изотропных тензоров четвертого порядка существует три:
*) & > •
Можно построить изотропные тензоры более вьсокіа порядков.
Тензорные операции. Если при помощи какой-нибудь операции из одного или.нескольких" тензоров получаются другие Тензоры, то такие операции -называются тензорными.
Почти очевидно,, что сложение есть тензорная операция; доказательство предоставляется читателям в качестве упражнения. Отсюда следует., что симметрирование и альтернирование - тоже тензорные операции. Поэтому симметрия и антисимметрия тензоров есть свойство, инвариантное относительно ортогональных преобразований. Таким образом, равенство
где
(3.7.)
Г/-
остается инвариантным при ортогональных преобразованиях.
- ЗІ -
В теории упругости часто применяется следующее -расположение тензорного второго порядке: р .
Яёяэор iSpp^^r op^Szv обладает тем свойством, что его свертка (т.е. сумма элементов, в развернутой записи стоящих на главной диагонали)j называемая также рледоед или щпуром тензора, равна тождественно нулю; такой тензор называют иногда, девиатошм. Тэнзор і ufySiZ^ называют шаровым. Итак, каждый тензор второго порядка может быть разложен на сумму девиатора, шарового тензора и антисимметричного тензора.
Равенство (3.8) является инвариантным относительно ортогонал* ньос преобразований.
- Так как закон преобразования тензоров порядка выше первого мы определили при помощи обобщенного умножения, то это последнее * воть тензорная операция. ,
Рассмотрим операцию свертки. Пусть Оуьр. тензор. Тогда
Свертка будет _ ^ г7
CLu e CcoLcpCLp^ oppClpp** CLfp .
Мы^идим, что результат свертки есть скаляр; поэтому сЬертка -тензорная операция. Далее, пусть CLppt, - тензор. Тогда
CLСер С** Cg^ CLppt, Свертка^будет, например; ' ' ^
CL^ ? - Сер CipC^OLppz A Орр Ся.&>рръ * CifbCLppz.. Мы видим, что результат свертки в данном случае есть тензор первого порядка; поэтому свёртка есть тензорная операция. Подобным же образом это проверяется для сверток тензора любого порядка. В частности, внутреннее произведение есть скаляр, так как это - свертка тензора.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed