Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Auc ^i« -у ?•« Ъ>у*. А* - At^ *** .
Объект Лсхрр^ называется тензором тшерции четвертого порящ$&. Тензор Ai*рр имеет, очевидно, следующие свойства симметрии:
1. Ai*f>p « ~~jA/tipр.
2. TUnpp* pp •
3. ALkpp. 53 Appte. _
Эти равенства вытекалт непосредственно из сьейств псевдотензора и коммутативности обобщенного произведения.
О .
Рис. 4".2
41 -
iyflfiftp деФошаиии и тензор,ньнрАжекия. Пусть имеется какая-яяфдь оплошная среда, которая может деформироваться. Будем изучать движение этой среды в неподвижной, ортонормироваиной системе воордзда* Озер (рис.4.2). Пусть какая-нибудь точка O среды с координатами переместилась в точку O' с координатами а^>.
Тогда ректор , '
паэцряется шдоррм с^ешени^. Координаты смещенной точки o/ , а следовательно, и составляющие вектора смещения, являются функциями координат несмещенной точки среды; вэктор смещения образует векторное поле.
'Найдем изменение элемента длины самой среды в окрестности рас сматриваемой точки среды. Пусть длина элемента среды до смещения была # после смещения стала : очевидно, имеем
; с/г? ^ с/4"
]фоди4ферегщируем равенство (4.II), получим:
Врзвышая этот результат в квадрат, получаем > - . ,
. * 2 -1? Ш, °Ъ .
Но, воспользовавшись тем, что немне индексы можно обозначать как угодно, получим:
В левой части этого равенства, очевидно; стоит истинный скаляр, a duCp есть совершенно произвольный истинный вектор. Поэтому на основании обратного тензорного признака*заключаем, что симметричный объект _
(4.13)
Гг Эх-р Эд?/> Ъзср Ээср. ecTjb'HCTHHHbtu тензор второго порядка; он называется тензором дешоо-ШЩи.хіЗсли есть "малое первого порядка, то последний член
тензора будет второго порядка малости; в этом случае тензор деформации определяется выражением'
"'Щ.+ 'Щ' (4Л4)
Напряженке в упругой среде связано с деформацией при помощи тензорного равенства - обобщенного, закона Гука:
~ ^г*$ » (4Л5)
- 42 ~
г
a ;х7°
Так hdi: aJCjO - про^-ьольш л истинный тензор, тс в соответствии о обратным тензорным пр^ыком ооъект
о' — Ґ Г»
•5і У-P ^
ісже будет истинным тскэоро.л первого порядка, т.е. кстипяьтм векторов он назкюется EE2?-U?LI??1 функцчи ^
Дифференцирование по координатам увеличивает порядок тензора на единицу.
Пусть на:л ,задано векторное, ного, т-е. три фуш:цпи dpfaf) » которые при переходе к новоЛ сгстеме координат преобразуются как элементы тензора первого порядка. Найдем полные дифференциалы этих функций; совокупность зтііХ полных: дифференциалов также образует тензор первого пооядка. 1\и имеем
В соответствии с обратным тензорным признаком объект л/*, ? есть истинный тензор второго порядка. Свернем этот тензор; мы получим истинный "скаляр л.
™P> P che? '-Эх/ э^з
Этот скаляр называется дивергентне*; векторного поля. ' Определим объект (Sp следующим образом :
В развернутой записи это будет г *
где тензор второго порядка называется уензосэм ндпряжеющ.
а тензор четвертого порядка J^^zs ~ ШШЗЯЛШ^ УДРУта.
В таком виде обобщенный закон Гука применяется в кристаллофизике.
J[^KQTQPHe [юрглулы тооркі*пс,пя. Пусть нам задано скалярное по^а| т.е. некоторая функция ^ifDCo) от координат, значение которой I при преобразовании координат не изменяется. Пршлером скалярного псоді может служить поло температуры какого-нибудь тела.
На (ідем полнчЛ ди;>>ренциал скалярной функции; это будет, очевидно, тоже скаляр. Kf.,eOiM
В тензорном исчислп?-/.и дифференцирование по координате обозначаете)! индексом координаты; ^:-06:; не смешать индекс, эбозначайщил дифференцирование, с обичнш' гчдоксом, его отделяют запито;;:
- 43 -
OA
'Эос/
Этот" объект называется вихрем векторного поля; он, очевидно,есть дсевдовектор веса» I. Зведем в рассмотрение дуальны:! тензор вихря» который обозначим через /Sue .По определению имеем ^А
откуда следует, что ^
Объект Ліс, есть, очевидно, псевдотензор второго порядка и веса 2; при ортогональных преобразованиях это истинны;! тензор. Он применяется в релятивистской теории поля,
упражнение. Если CLCk есть некоторый тензор второго порядка, то тензор третьего порядка '
и-скС - ъзег 'дзех "г>осс иногда называют циклом тензора.CL ис Доказать, что цикл дуального тензора вихря тождественно равен нулю, т.е. что
• Приведем для удобства справок таблицу основных понятий и некоторых соотношений теории поля в векторных и тонзолных (индэксыпе) Обозначениях.
ч
Векторчне обозначения
1. Градиент
atojod ps V'f*
2. Дивергенция ^
cUz?- /Гн уА .
3. Вихрь
4. .Лапласиан А ,^**
яА ~АаР
Ti.-a, -/1Ar -
5. 6.
V. oUiytoSА = О.
I. 2. 3. 4.
5. 6.
---О
-2> JCf^ZCx 7. Ш±_
?рр. Ahfif> *
* о .
44 -6.
/> P 2?*. IfAi. ^a1
9\
її. *
9.
IC
II.
2?
12.'
ca*(A*&)* ВгоіА - /І .
(Ccаг. Af &ь)> P *о,°ЧугАг,?~Ар?лЛ
; предлагается получить их в I
dT? результаты почти очевидны порядке упражнения.
§ 5. Главные, оси симметричного тензора втсрого порядка
Пусть мы имеем какой-нибудь симметричный тензор второго поряд* $Pf . Покажем, что существует такое ортогональное преобразование, переводчщее старые координаті , в новые ОСг 9 чїо в нозой системе координат тензор *SV*r • принимает диагональный ввд. ? развернутой Ъаписи это выглядит так:
