Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
• Дідгебраические дополнения. Возьмем равенство 02.23) (Ь?ррг=&кЄ^^&ж умножим его на » получим
Так как по (2.8) ^^z^S^^^ze9 то можно написать л Введем ооозначение с ^ ГГ 7 г J
Ае&. аС/> . <2-26)
Элементы этого объекта называютоя алге^рдичеокист дополнениями элементов детерминанта JfCL^J . Теперь мы можем написать
Положив 'здесь г = ^*» получаем разложение детерминанта по элементам Cb- то столбца. Если г*cl, ?, л/*^'в*о из (2.26) получаем (Z <Г«/ Cie^Atfg.
Это представляет собою известную теорему из теории детерминантов,, согласно которой сумма произведений элементов одного столбца детерминанта на алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю.
Упражнение Найти разложение детерминанта по элементам строк. Решение- , Умножим (2.24) на ^i^ . Подучим
Введем обозначение л
Аъг ~ -g &ъг» Сррг • (2.28)
Тогда можем написать ' г
.?ЬЇЇет*??^/фгСІрО,<р . (2.29) Положив здесь **~ /получим разложение детерминанта по элементам Cl- 2 строки. .
Решение систем линейных уравнений. Пусть имеем'систему трех линейных уравнений л -
GiK х/с~ *с . (2.30)
/"множим это равенство на Ас/> $ получим &iKAyo -?- ~Ау*& • В силу (2.27) мы можем напидать &?L>X* — Лір & f а так как ^ OC^ ^ orґ , то doc* - /\ср?і. Поэтому будет ~ '
Это выражает собою известную теорему Крамера о решении линейных уравнений в иядексныг обозначениях.
Можно записать решение линейной системы несколько иначе. Введем в рассмотрение объект Л с » определяемый так
Тогда
Az
Лі
?/>ръ ?Ь/>/ cfys еъ,
Этим способом записи мы воспользуемся в дальнейшем.
Формула векторной ^алгебры в индексных обозначениях. ^Пусть OCCt, (рис.2.1) ортогональная правая система координат, C^- вектор, Rjf Аз - его составляющие по осям координат. Тогда мы можем рассматривать вектор как трехмерный объект первого порядка и подучить две группы формул: обыкновенные фэрмулы векторной алгебры и их запись в индексных обозначениях.
1. Вектор ЙГ.
Модуль вектора fcLf* -
2. Сумма' векаоров
Hl+ е\ ^
3. Разложение вектора d по трем некомпланарным векторам с?, ^ с*
4. Скалярное произведение
а Т.
5. Косинус угла между векторами CL и ^(рис.2.2)
6. Ортогональная проекция d вектора CL-на направление вектора
7. Вектогное произвелешш
1
1. Объект первого порядка^' Объект нулевого порядка CL
2. Сумма объектов
3. Линейная комбинация de трех объектов ?j ^
4. Внутреннее произведение
5. Объект нулевого порядка
^ в CLC ? с
6. Объект первого порядка
с?
7. Внешнее произведение
Рис. 2.1
8. Условие ортогональности векторов CL и
9. Условце коллинеарности векторов * и
CL *!Г - О. 10*Квадрат векторного произведения
8. Условие "ортогональности" объектов CU Е %t
а+fr - о.
9. Условие "коллинеарности" объектов CIi и ^
Рек О** - О .
10. Квадрат векторного произведения
. •$!*<&?:-ftAjCU*)*
- 24 - .
11. Смвшанное^рои?ведение ¦ II. Объект кулевого порадка векторов Oy &; сГ
А ~ a.-(J*с)~ А *?гке*а*?*е?-
СС< CL& СЪЗ jo
6< вг ?з ~ at Сг*е* .
- Ci Сг Сз
12. Условие компланарности 12. Условие "компланарности трех векторов 1% 6,сГ трех объектов CLC%f Cc
( 1 ^ Ctc CcW 6* -О.
13. Векторное произведение 13. Внешнее произведение трех
трех векторов^ объектов CL^ Oi Ct
Существенное различие между отими двумя группам формул состоит в том, что формулы в векторных обозначениях могут быть напи-ранц без привлечения какой бы то ни было координатной системы; формулы в индексных обозначениях представляются написанными сразу в некоторой определенной системе координат.
Однако для практических рарчетов с использованием векторных формул обязательно приходится вводить некоторую систегцу координат и проектировать векторные равенства на оси этой системы/ Тем самым мы, в сущности# обязаны переходить к индексным обозначениям.
С другой стороны, векторные равенства остаются справедливыми в любой системе координат; они, как принято говорить, являются давариантнымй равенствами. Инвариантные равенства играют большую роль во всех точных науках* Существует даже утверждение, что физический смысл имеют только инвариантные равенства, т.е. равенства, не зависящие от выбранной системы отсчета; таковы, например, уравнения теории относительности.
На первый взгляд не очевидно; облагают ли свойством инвариантности равенства, написанные в индексных обозначениях. Для. выясяе-, ния этого вопроса нам необходимо введение специального вида объектов, называемых тензорами. Понятие тензора мы введем так, чтобы равенства, написанные в индексных обозначениях, оказались инвариантными относительно преобразования координат.
§ 3.Ортогональные тензоры
Как мы знаем, векторные равенства остаются неизменными (инвариантными) в любой системе отсчета. С точки зрения индексных обоз-
- 25 -
Рис. 3.1
Ортогональные преобразования. Пусть (риоч3.1)#Л/> и A^i будут две ортояормированные системы, т.е. ортогональные системы» для которых1 масштаби длин вдоль осей координат равны единице длины.Пусть координаты одной и той же точки ^3 будут соответственно Jp И J/c Введем матрицу направляющих косинусов- Сер , причем соответствие между индексами осей и элементов матрицы- устанавливается так;
