Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, трансформационные свойства специальных мировых компонент имеют двойственный характер, связанный и с р- и с L (х) -преобразованиями. Продолжим их рассмотрение в главе V.
14.3. Физические время, расстояние и время задержки в тетрадном представлении ОТО. Отведем этим трем понятиям отдельный пункт, поскольку все они важны в принципе, используются в приложениях. В частности, в главах 1 и II они уже привлекались для описания конкретных гравитационных
*) Согласно Схоутену, звездочка над равенством означает, что оно имеет место только в данной системе отсчета.
150 эффектов, а в §24 они, вместе взятые, будут положены в основу анализа физической структуры добавочных аномалий.
Из (13.4) при k= (0) следует выражение для элемента времени:
dx<o> = AliWdxK (14.14)
Будем называть его, оттеняя инвариантность относительно произвольного преобразования системы координат и отнесение к лоренцеву базису, физическим (истинным) временем, или собственным. Этот термин также отражает зависимость интеграла fdxW от пути интегрирования, на чем остановимся в § 15. Элемент dx^\ очевидно, не является инвариантом относительно преобразований L(x), что и подчеркивается наличием лоренцева индекса (0). Выделим dx<°) в квадратичной форме, рассекая суммацию по лоренцевым индексам:
± ^2 - g^dxHx" = т)(о)(о) (d*<°>)2 +
+ г\abdxadxb = — с2 (dm)2 + dl2. (14.15)
В частных случаях
(ds)dxa=0 = cdmy (ds)dt(o)=0 = dl, (и. 16)
(_ C2 (dm)2 + di2)d&=о = О, С =
dm
Рассекая суммацию в системе уравнений (13.5)
*
&iv = V0)ftv(0) + KaKa = g„v* + SW выделим метрический тензор 3-пространства
L = V^va- (14.17)
Рассмотрим отдельно второй член справа в формуле (14.15), т.е.
dl2 = r\abdxadxb = (r]abW) dx^dx* = g^dxMx*. (14.18) Будем называть
dl = Уч abdxadxb = Vg^dxMx* (14.19)
элементом физического, собственного расстояния, зависящего от сделанного выбора (3+1)-расщепления и соответствующего ему лоренцева базиса. Термин «собственный» подчеркивает также зависимость интеграла Jdl от выбора пути интегрирования и инвариантность относительно произвольного преобразования координатной системы.
151 Введению в ОТО физического расстояния Эйнштейн придавал важное значение. Так, в рецензии на книгу Вейля «Пространство, время и материя» он писал: «...Я хотел бы, чтобы во втором издании был более отчетливо показан физический смысл расстояния между двумя точками (как непосредственного результата измерения с помощью масштабных линеек и часов). Это позволило бы достичь большей полноты изложения с точки зрения физика» [ 1, IV, с. 43].
Выразим условие (5.1) синхронизации по собственному времени с помощью тетрад в виде
df
dx<°> = /i0(0)dx° + ha«»dxa = 0. (14.20)
Отсюда находим общее выражение для элемента координатного времени десинхронизации (или десинхронизма, последний термин встречается в литературе по космическим исследованиям биологического характера), записанное с помощью тетрад:
dx\t с = — ha(Vdx4h0(oK (14.21)
Оно эквивалентно выражению для элемента (5.3), записанному с помощью метрического тензора, а с переходом от ОТО к СТО оно принимает вид dX0 = L°adXa/L%, где Xk — голоном-ные псев до декартовы координаты.
Остановимся на сравнении метрического и тетрадного путей введения элемента dx°дес и на интересных частных случаях его метрического и тетрадных выражений. Для этого запишем общее выражение для интервала в следующих формах:
g^dxMx*=
goo f (^0)2~f~ 2 dx° 1 ^ (H 22a)
?oo goo J
govdx4x<> + (14.22b)
r]kndxkdxn = — (dx( °>)2 + d/2, (14.22c)
4hndxkdxn, щпФ diag(-l, 1, 1, 1). (14.22d)
Для пространственно-подобного интервала, точки которого синхронизованы в смысле (5.1), из (14.22а) и (14.22с) следует соотношение (5.2). Оно имеет два решения — знаки перед корнем в соотношении (5.3) учитывают две возможности распространения изотропного сигнала или движения частицы в прямом и обратном направлениях.
Выделим из соотношения (5.3) случай распространения изотропного сигнала. Предварительно вспомним, ограничившись для простоты одномерным движением, что =L(1) (о)dx(°> +
+ L(1)/(i)dx^K Отсюда при условии синхронизации (5.1) имеем
152 dxM = У1—?jjdjtf1)', где Vjl = срл—локальная скорость, т. е. ((IxM)0ji^c0. Иллюстрируем это на рис. 15, где изображен изотропный вектор dx, удовлетворяющий условию dx-dx = 0. Пусть в точке О заданы две локальные псевдодекартовы системы К и К'. Проекции изотропного вектора на эти системы будут соответственно равны dx<°> = AB9 dl = dxM = CD и dx<°>' = А'В'9 dl' = dx(lУ = C'D' (для простоты рис. 15 ограничен случаем, когда dl = dxM и принято с = 1). Из рисунка видно, что по мере приближения скорости V системы Kr к скорости света с в вакууме как временная линия, так и собственное пространство системы приближаются к изотропной линии. При этом точки А', В', С', D' приближаются к точке O9 а тем самым точки А' и В'9 а также С' и Dr сближаются соответственно друг с другом. В^пределе
0, limC'D' = dl = 0 (14.23)
V-*-с
Iim А'В' = dtW
v-*-c
